น่ารู้รอบตัว เรื่องคณิตศาสตร์

ลำดับตอนที่ #13 : ความสัมพันธ์ (Relation)

มาแล้วคะ หนึ่งในองค์ประกอบในเรื่องของฟังก์ชั่น เรารู้ว่าความสัมพันธ์นั้นจะเกิดขึ้นได้ก็จำเป็นที่จะต้องมีสิ่งสองสิ่งเพื่อนำมาเกี่ยวเนื่องกัน ไม่ว่าจะเป็นคน, สัตว์, สิ่งของ หรือแม้กระทั่งตัวเลข ก็สามารถที่จะนำมาสร้างความสัมพันธ์ได้คะ

แต่ในที่นี้ เราจะสร้างลำดับของสิ่งของสองสิ่งขึ้น เพื่อให้ดูเป็นระบบระเบียบ และสามารถเข้าใจได้ง่ายขึ้น ดังนั้น หากเรานึกถึงสิ่งสองสิ่ง เราจะต้องไม่ลืมนึกถึงความหมายที่สำคัญของคู่อันดับ (ordered Pairs) นะคะ เรามาดูว่า มันมีสิ่งที่น่าสนใจอะไรกันดีกว่านะคะ

คู่อันดับ (Ordered Pairs)

จากทางข้างต้น เราก็รู้ว่าคู่อันดับนั้น เกิดขึ้นจากการเรียงลำดังกันระหว่างสิ่งสองสิ่ง นั่นก็คือว่า คู่อันดับนั้น จะต้องมีคุณสมบัติเป็นคู่ และมีอันดับในตัวด้วย พูดแบบนี้เพื่อนๆอาจจะงงกัน เราจึงขออธิบายอย่างง่ายๆว่า คู่อันดับแต่ละคู่นั้น จะต้องประกอบด้วยสมาชิก 2 ตัว นั่นคือ สมาชิกตัวหน้า และสมาชิกตัวหลัง และการที่จะเป็นสมาชิกตัวหน้าและสมาชิกตัวหลังนั้น จะมีการแสดงอันดับที่สำคัญมาก เช่น การเขียนอันดับของ บิดากับบุตรชาย (พระอภัยมณี , สุดสาคร) ทั้งนี้แสดงถึงอะไร ซึ่งเราคิดว่าเพื่อนๆทุกคนต้องเข้าใจแน่ๆคะ ตัวอย่างดังที่ยกมานั้น หมายถึง สมาชิกตัวหน้าคือ พระอภัยมณี เป็นบิดา และสมาชิกตัวหลังคือ สุดสาคร เป็นบุตรชาย (แต่ในที่นี้ไม่มีนางเงือกจากเกาะแก้วพิสดารนะคะ)

และจากคู่อันดับนี้ หากเราสลับที่กันระหว่างคู่อันดับทั้งสองให้กลายมาเป็น (สุดสาคร, พระอภัยมณี) ความหายอันดับก็จะผิดไปจากเดิมที่เป็นอยู่คะ กลายเป็นว่าสุดสาครเป็นบิดา และพระอภัยมณี เป็นบุตรชายแทน (และคิดว่านางเงือกจะต้องแย่แน่ๆเลยที่คู่อันดับสลับกันซะได้)

และในทางคณิตศาสตร์ คู่อันดับนั้นจะนิยมเขียนในรูปของสัญลักษณ์ ค่ะ โดยกำหนดให้ เป็นสมาชิกตัวหน้า และ เป็นสมาชิกตัวหลัง และตกลงว่าคู่อันดับ (a, b) นั้น จะเท่ากับคู่อันดับ (x, y) ก็ต่อเมื่อ a = x และ b = y นั่นคือ จัดลำดับเดียวกันให้นำมาเท่ากันเท่านั้นเองค่ะ

เกริ่นมาถึงเรื่องคู่อันดับ พร้อมกับตัวอย่างง่ายๆ เพื่อนๆก็คงจะเข้าใจกันดีแล้วใช่ไหมคะ ดังนั้นตอนนี้ เรามาดูสมบัติของคู่อันดับจำนวนไม่กี่ข้อกันบ้างดีกว่า เพื่อที่จะได้นำสมบัตินี้ ไปใช้ในการแก้โจทย์ปัญหากันได้ค่ะ

สมบัติของคู่อันดับ
1. ยกเว้น
2. ก็ต่อเมื่อ และ
3. ก็ต่อเมื่อ และ

จากคุณสมบัติดังข้างต้นนี้ เราจะนำมาแทนค่าตัวเลขลงไปเพื่อที่จะได้เห็นชัดขึ้นนะคะ เช่น
แต่
ก็ต่อเมื่อ และ
ก็ต่อเมื่อ หรือ

ตัวอย่าง
ก็ต่อเมื่อค่าของ , เท่ากับเท่าใด
วิธีทำ ก็ต่อเมื่อ และ
นั่นคือ และ หรือ
ดังนั้น ก็ต่อเมื่อ และ

แบบฝึกหัด 1

1. ก็ต่อเมื่อ และ เท่ากับเท่าใด
2. ก็ต่อเมื่อ และ เท่ากับเท่าใด
3. ก็ต่อเมื่อค่าของ และ เท่ากับเท่าใด
4. ก็ต่อเมื่อคู่อันดับ เท่ากับเท่าใด

จากเรื่องคู่อันดับทางข้างต้น ทุกคนเคยสงสัยไหมคะว่า แล้วถ้าเรามีเพียงแค่สมาชิกที่อยู่ในเซตๆหนึ่งเท่านั้น แล้วเราจะสามารถจัดคู่อันดับด้วยตัวเองได้ไหม คำตอบคือ ได้อย่างแน่นอนคะ จากความรู้เรื่องเซต (ลืมกันแล้วหรือยังคะ) เรารู้ว่าภายในเซตนั้น จะประกอบด้วยสมาชิกหลายตัว แล้วแต่ว่าในเซตนั้นๆจะมีสมาชิกอะไรบ้าง ซึ่งในเซตนั้นก็สามารถแบ่งได้ออกเป็นหลายเซตด้วยกัน เช่น เซต A, เซต B. แล้วเราจะสามารถจัดอันดับขึ้นได้อย่างไร เพื่อนๆคะ เราสามารถที่จะจัดอันดับเองได้ โดยใช้วิธีของผลคูณคาร์ทีเซียนที่กล่าวดังต่อไปนี้ค่ะ

ผู้เขียน: ดร. ภคินี สุวรรณจันทร์