นิยาย น่ารู้รอบตัว เรื่องคณิตศาสตร์ > ลำดับตอนที่ #11 : อนุกรมอนันต์ ( Infinite Series ) : Dek-D.com

ลำดับตอนที่ #11 : อนุกรมอนันต์ ( Infinite Series )

อัปเดตล่าสุด 17 มิ.ย. 50

หัวข้อนี้จะศึกษาผลบวกที่มีพจน์เป็นจำนวนมากนับไม่ถ้วน ตัวอย่างของผลบวกที่คุ้นเคยกันมาก เกิดขึ้นในการแทนจำนวนจริงด้วยทศนิยม

เช่น เมื่อเขียน $\displaystyle{\frac{1}{3}}$ ในรูปทศนิยม
$\displaystyle{\frac{1}{3}=0.3333\ldots}$ นั้นหมายถึง
$\displaystyle{\frac{1}{3}=0.3 + 0.03+ 0.003 + 0.0003 + \ldots}$
แสดงว่าการแทน $\displaystyle{\frac{1}{3}}$ ด้วย ทศนิยม อาจจะพิจารณาเป็นผลบวกของจำนวนจริงหลายจำนวนนับไม่ถ้วน

ผลบวกของอนุกรมอนันต์

ในการนิยามความหมายของผลบวกของจำนวนจริงหลายจำนวนนับไม่ถ้วน จะเริ่มจากนิยามของอนุกรมอนันต์ก่อน ดังนี้

นิยาม 2.1.1 อนุกรมอนันต์ คือ นิพจน์ ( expression ) ที่อยู่ในรูป $a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_k + \ldots$ หรือ เขียนในสัญลักษณ์ ได้เป็น
$a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_k + \ldots = \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}a_k$

เรียกจำนวน $a_1,a_2,a_3,\ldots$ ว่า พจน์ของอนุกรม และต่อไปจะใช้คำว่า อนุกรม แทนคำว่า อนุกรมอนันต์

เนื่องจากเราไม่สามารถบวกจำนวนที่นับไม่ถ้วนเข้าด้วยกันได้ ดังนั้นจึงต้องนิยามผลบวกของอนุกรมและ คำนวณค่าโดยใช้ลิมิต

เพื่อขยายผลจากแนวคิดพื้นฐาน จะพิจารณาทศนิยม $0.333\ldots$ ซึ่งสามารถเขียนเป็นอนุกรม

$0.3+0.03+0.003+0.0003+\ldots$ หรือ $\displaystyle{\frac{3}{10}+\frac{3}{10^2}+\frac{3}{10^3}+\frac{3}{10^4} + \ldots}$ ____________ (1)

เนื่องจาก $\displaystyle{\frac{1}{3} = 0.3333\ldots}$ ดังนั้น ผลบวกของอนุกรม (1) ควรจะเป็น $\displaystyle{\frac{1}{3}}$ การหาผลบวกของอนุกรมทำได้โดยการพิจารณาลำดับของผลบวก ดังนี้

$\displaystyle{S_1 = \frac{3}{10} = 0.3}$
$\displaystyle{S_2 = \frac{3}{10} + \frac{3}{10^2} = 0.33}$
$\displaystyle{S_3 = \frac{3}{10}+\frac{3}{10^2}+\frac{3}{10^3} = 0.333}$
$\displaystyle{S_4 = \frac{3}{10}+\frac{3}{10^2}+\frac{3}{10^3}+\frac{3}{10^4} = 0.3333}$
..............................................................................

ลำดับ $S_1,S_2,S_3,S_4,\ldots$ สามารถใช้เป็นการประมาณ ผลบวกของอนุกรมได้ ในลำดับของผลบวกดังกล่าว จะมีการใช้พจน์ของอนุกรมมากขึ้น และการประมาณค่าจะดีขึ้นตามลำดับ และลิมิตของลำดับ ควรเป็น $\displaystyle{\frac{1}{3}}$

เพื่อให้เห็นว่าลิมิตเป็น $\displaystyle{\frac{1}{3}}$ จริง จะต้องคำนวณลิมิตของพจน์ทั่วไปในลำดับที่ใช้ประมาณค่า ในที่นี้พจน์ทั่วไปคือ

$\displaystyle{S_n = \frac{3}{10}+\frac{3}{10^2}+\frac{3}{10^3}+\frac{3}{10^4} + \ldots \frac{3}{10^n}}$ ________ (2)

การหา $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow \infty} S_n = \lim_{n \rightarrow \infty} \left[ \frac{3}{10}+\frac{3}{10^2}+\frac{3}{10^3}+\frac{3}{10^4} + \ldots \frac{3}{10^n}\right]}$ ค่อนข้างยุ่งยาก เพราะทั้งพจน์สุดท้ายและจำนวนพจน์เปลี่ยนตามค่า

จึงต้องพยามยามเขียนลิมิตให้อยู่ในรูปที่พจน์ไม่แปรค่า ดังนี้

คูณ (2) ด้วย $\frac{1}{10}$ จะได้

$\displaystyle{\frac{1}{10}S_n = \frac{3}{10^2}+\frac{3}{10^3}+\frac{3}{10^4}+\ldots+\frac{3}{10^{n}}+ \frac{3}{10^{n+1}}}$ ________ (3)

นำ (3) ลบออกจาก (2) จะได้

$\displaystyle{S_n-\frac{1}{10}S_n = \frac{3}{10}-\frac{3}{10^{n+1}}}$ หรือ $\displaystyle{S_n = \frac{1}{3}(1-\frac{1}{10^n})}$

เนื่องจาก $\displaystyle{\frac{1}{10^n}\rightarrow 0}$ เมื่อ $n \rightarrow \infty$ จึงได้

$\displaystyle{\lim_{n\rightarow\infty} S_n = \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{3}(1-\frac{1}{10^n}) = \frac{1}{3}}$

ซึ่งอาจจะแทนด้วยการเขียน

$\displaystyle{\frac{1}{3} = \frac{3}{10}+\frac{3}{10^2}+\frac{3}{10^3}+\frac{3}{10^4} + \ldots +\frac{3}{10^n}+\ldots}$

จากตัวอย่างที่กล่าวมาข้างต้น จะนิยามแนวคิดของผลบวกของอนุกรม $\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty} a_k}$ ได้ดังนี้ ให้ S_n

แทนผลบวกของ

พจน์แรกของอนุกรม

S_1 = a_1

.................................
$S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_k$

เรียก S_n

ว่า ผลบวกย่อยที่

ของอนุกรม และ เรียก $\{S_n\}$ ว่า ลำดับของผลบวกย่อย เมื่อ

มีค่าเพิ่มขึ้น ผลบวกย่อย $S_n=a_1+a_2+a_3+\ldots+a_n$ จะรวมพจน์ของอนุกรมมากขึ้นเรื่อยๆ ดังนั้น ถ้า S_n

มีค่าเข้าใกล้ลิมิตค่าหนึ่ง ขณะที่ $n\rightarrow\infty$ ค่าลิมิตนั้นจะเป็นผลบวกของทุกพจน์ในอนุกรมนั้น เขียนเป็นนิยามได้ดังนี้

นิยาม 2.1.2 ให้ $\{S_n\}$ เป็นลำดับของผลบวกย่อยของอนุกรม $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_n}$ ถ้าลำดับ $\{S_n\}$ ลู่เข้าสู่ลิมิต

แล้วจะเรียกอนุกรมนี้ว่า อนุกรมลู่เข้า และเรียก

ว่า ผลบวกของอนุกรม เขียนแทนด้วย $\displaystyle{S=\sum_{n=1}^{\infty} a_n}$ ถ้าลำดับของผลบวกย่อยลู่ออกแล้ว จะเรียกอนุกรมนี้ว่า อนุกรมลู่ออก และไม่มีผลบวก

ตัวอย่าง 1 จงแสดงว่า $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)}}$ เป็นอนุกรมลู่เข้า พร้อมทั้งหาผลบวกของอนุกรม

วิธีทำ เนื่องจาก $\displaystyle{a_n = \frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}$ จะได้

$\displaystyle{S_1 = a_1 = \frac{1}{2}}$
$\displaystyle{S_2 = a_1+a_2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2\cdot 3} = (1-\frac{1}{2}) + (\frac{1}{2}-\frac{1}{3})}$
$\displaystyle{S_3 = a_1+a_2 +a_3 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4} = (1-\frac{1}{2}) + (\frac{1}{2}-\frac{1}{3}) + (\frac{1}{3}-\frac{1}{4})}$

ดังนั้น
$S_n = a_1 + a_2 +a_3+\ldots +a_n$
$\displaystyle{= (1-\frac{1}{2}) + (\frac{1}{2}-\frac{1}{3}) + (\frac{1}{3}-\frac{1}{4}) + \ldots +(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})}$
$\displaystyle{= 1- \frac{1}{n+1}}$

และ $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty} S_n = \lim_{n\rightarrow \infty}(1-\frac{1}{n+1}) = 1}$ ดังนั้น $\{S_n\}$ เป็นลำดับลู่เข้า นั้นคือ $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}}$ เป็นอนุกรมที่ลู่เข้า และมีผลบวกเป็น 1

ต่อไปจะขอเขียนแทนอนุกรมอนันต์ด้วย $\displaystyle{\sum a_n}$ ซึ่งจะมีทฤษฎีบทที่สำคัญ ดังนี้