Universal Quadratic Form

Universal Quadratic Form

ก่อนจะไปรู้จักกับ Universal Quadratic Form เรามาทำความรู้จักกับเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นสอง ( Square Numbers ) กันก่อนนะครับ ซึ่งก็คือ เลข 12=1, 22=4, 32=9, 42=16, 52=25, ... เมื่อเราเลือกจำนวนนับขึ้นมาหนึ่งจำนวน จำนวนนั้นจะสามารถเขียนให้อยู่ในรูปผลรวมของเลขยกกำลังสองได้ เช่น 10 = 1 + 1 + 4 + 4 และ 30 = 1 + 4 + 9 + 16 และเมื่อปี ค.ศ. 1770 ลากรอง(Joseph-Louis Langrange) นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส ได้พิสูจน์ว่าจำนวนเต็มบวกทุกๆ จำนวนสามารถนำมาเขียนให้อยู่ในรูปผลรวมของเลขยกกำลังสอง 1 จำนวน หรือ 2 จำนวน หรือ 3จำนวน หรือ 4 จำนวน แต่ไม่จำเป็นต้องใช้ผลรวมมากกว่า 4 จำนวนเพื่อเขียนแทนจำนวนเต็มบวกจำนวนนั้น สามารถเขียนให้อยู่ในรูป สูตรได้ ดังนี้ x2 + y2 + z2 + t2
หลังจากนั้นลากรองและนักทฤษฎีจำนวนได้เรียกสัญลักษณ์ดังกล่าว quadratic form เพื่อใช้เขียนแทนจำนวนเต็มบวกทุกจำนวน โดยต่อมาได้ใช้ชื่อว่า “Universal Quadratic Form เพื่อแทนชุดของสัมประสิทธิ์ที่สามารถเขียนแทนจำนวนเต็มบวกทุกจำนวนได้” ในปี ค.ศ. 1916 ศรีนิวาสะ รามานุจัน นักคณิตศาสตร์ชาวอินเดีย ได้ออกมาบอกว่ามีสูตรทั้งหมด 53 สูตร ที่เป็น Universal Quadratic Form ที่สามารถเขียนจำนวนเต็มบวกทั้งหมดโดยใช้การเลขจำนวนจำนวนนั้นยกกำลังสอง หรือ ผลรวมของเลขยกกำลังสอง สองจำนวน หรือผลรวมของเลขยกกำลังสองสามจำนวน หรือผลรวมของเลขยกกำลังสอง จำนวนได้ โดยใช้สูตร a x2 + by2 + cz2 + dt2 โดยแทนค่า สัมประสิทธ์ a, b, c และ d ตามข้อมูลด้านล่าง
[1,1,1,2] [1,1,1,3] [1,1,1,4] [1,1,1,5] [1,1,1,6] [1,1,1,7]
[1,1,2,2] [1,1,2,3] [1,1,2,4] [1,1,2,5] [1,1,2,6] [1,1,2,7]
[1,1,2,8] [1,1,2,9] [1,1,2,10] [1,1,2,11] [1,1,2,12] [1,1,2,13]
[1,1,2,14] [1,1,3,3] [1,1,3,4] [1,1,3,5] [1,1,3,6] [1,2,2,2] [1,2,2,3] [1,2,2,4] [1,2,2,5] [1,2,2,6] [1,2,2,7] [1,2,3,3]
[1,2,3,4] [1,2,3,5] [1,2,3,6] [1,2,3,7] [1,2,3,8] [1,2,3,9]
[1,2,3,10] [1,2,4,4] [1,2,4,5] [1,2,4,6] [1,2,4,7] [1,2,4,8] [1,2,4,9] [1,2,4,10] [1,2,4,11] [1,2,4,12] [1,2,4,13] [1,2,4,14] [1,2,5,6] [1,2,5,7] [1,2,5,8] [1,2,5,9] [1,2,5,8]
ตัวอย่างเช่น 1x2 + 2y2 + 3z2 + 4t2
จากการค้นพบของรามานุจัน แล้วนักคณิตศาสตร์คนอื่นๆ จะสามารถพิสูจน์ได้อย่างไร ว่าค่าต่างๆ ที่รามานุจันค้นพบนั้นสามารถแสดงค่าจำนวนนับทุกจำนวนหรือเป็นค่า Universal Quadratic Form ได้
เมื่อวันที่ 11 เดือนมีนาคม ค.ศ. 2006, บาร์กาวา(Manjul Bhargava) แห่งมหาวิทยาลัยปรินซ์ตัน(Princeton University)และ ฮานเก้ (Jonathan P. Hanke) แห่งมหาวิทยาลัยดุค(Duke University in Durham, N.C.) แสดงให้เห็นว่าการตอบปัญหาเรื่องนี้เป็นเรื่องที่ง่าย โดยบาร์กาวาได้อธิบายวิธีการหาคำตอบที่การประชุมเรื่องทฤษฎีจำนวนและ คณิตศาสตร์ ฟิสิกส์ นานาชาติ ที่มหาวิทยาลัยในเมืองคัมบาโคนัม(Kumbakonam) ในประเทศอินเดีย (ยังหารายละเอียดไม่ได้)
ในปี ค.ศ. 1993 คอนเวย์ (John H. Conway) และลูกศิษย์ของเขา ชเนบอร์เกอร์ (William Schneeberger) ได้ออกมาแสดงวิธีพิสูจน์ Universal Quadratic Form โดยใช้ “15 Theorem” ซึ่งการพิสูจน์โดยวิที่ดังกล่าว ได้กล่าวไว้ว่า “สัมประสิทธิ์ (a, b, c, d) ที่แทนในสูตร Quadratic Form (a x2 + by2 + cz2 + dt2) ถ้าสามารถใช้สัมประสิทธ์นั้นๆ หาค่าจำนวนเต็มบวกตั้งแต่ 1 ถึง 15 ได้ก็จะสามารถแทนจำนวนเต็มบวกทุกจำนวนได้” ซึ่งบทพิสูจน์ของคอนเวย์ และชเนเบอร์เกอร์ไม่เคยได้รับการตีพิมพ์ ในบทความหรือวารสารคณิตศาสตร์มาก่อน ซึ่งในทางปฏิบัติแล้วเขาทั้งสองคนได้บอกว่าในทางปฎิบัติแล้วสามารถที่จะใช้ จำนวนเพียง 9 จำนวนเท่านั้นในช่วง 1 – 15 เพื่อทำการพิสูจน์ว่าสัมประสิทธ์ดังกล่าว เป็น Universal Quadratic Form หรือไม่ ซึ่งจำนวนทั้ง 9 จำนวนนั้นคือ 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 14 และ 15 ถ้าสูตร Quadratic Form สามารถเขียนแทนค่าเลขทั้ง 9ได้ก็แสดงว่า Quadratic Form นั้นเป็น Universal Quadratic Form และถ้าไม่สามารถแทนได้ก็จะเป็น Nonuniversal หลังจากค้นพบทฤษฎี 15 Theorem คอนเวย์และชเนเบอร์เกอร์ได้ทำการทดสอบเพื่อยืนยันว่าทฤษฎีนี้สามารถใช้งาน ได้จริง โดยทดสอบตั้งแต่จำนวน 1 จนกระทั่งถึง 290 ซึ่งผลที่ออกมานั้น เป็นสิ่งถึงบอกถึงความถูกต้องของทฤษฎีดังกล่าว

/* ในการวิเคราะห์สัมประสิทธ์ที่สามารถทำให้ Quadratic Form เป็นสัมประสิทธ์ที่สามารถเป็น Universal Quadratic Form จะสังเกตว่าจะต้องมีสัมประสิทธ์ที่มีค่าเท่ากับ 1 อย่างน้อยหนึ่งตัว เพื่อทำให้สูตรนั้นสามารถแทนจำนวนเต็มบวกที่มีค่าเท่ากับ 1 ได้เพราะเลขยกกำลังสองจะมีค่าเป็นบวกเท่านั้น ตัวอย่างเช่น ให้สัมประสิทธ์ a, b, c, d ใน สูตร a x2 + by2 + cz2 + dt2 แทนค่าด้วย 2, 3, 4 และ 5 ตามลำดับ จะไม่สามารถหาค่า x, y, z และ t ที่ทำให้สูตรดังกล่าวที่มีค่าเท่ากับ 1 ได้ */

ที่มา : http://www.sciencenews.org/articles/20060311/bob9.asp

หมายเหตุ ในเครื่อง /* */ ผู้แปลและเรียบเรียงเป็นผู้แต่งขึ้น

Universal Quadratic Form

ความคิดเห็น