เทคนิคการหาผลบวก

ข้อมูลเบื้องต้น

Δ f(x) = f(x + 1) - f(x) คราวที่แล้ว เรารู้จักผลต่างและผลบวกของฟังก์ชัน พหุนามแบบมีขีดล่าง (ไม่รู้จะเรียกว่าไรดีอะ) xn ไปแล้ว xn = x(x - 1)(x - 2)...(x - n + 1) Δ(xn) = nxn - 1 Σ xn δx = xn + 1/(n + 1) + c ซึ่งหน้าตามัน ละม้ายคล้ายกับ d(xn)/dx = nxn - 1 ∫ xn dx = xn + 1/(n + 1) + c ลองมาหาฟังก์ชันอื่น ๆ บ้าง Δ(2x) = 2x + 1 - 2x Δ(2x) = 2x โอ๊ะ! มันคล้าย ๆ กับ ex ในแคลคูลัสเลยหนิ เพราะว่า d(ex)/dx = ex แล้วถ้าเปลี่ยนฐานหละ? Δ(ax) = ax + 1 - ax Δ(ax) = (a - 1) ax ก็คล้าย ๆ กับในแคลคูลัสนะ แต่ค่าคงที่มาคูณข้างหน้ามันต่างกัน (ให้ดูเผื่อขี้เกียจคิด: d(ax)/dx = (ln a) ax) คราวนี้ก็ได้สูตรของผลบวกอีกสูตรละ Σ ax δx = ax/(a - 1) + c คราวนี้มาลองหาอะไรที่มันใกล้ ๆ กับ ln แบบ discrete ดีกว่า เริ่มจาก ... ∫ (1/x) dx = ln x + c ลองเปลี่ยนฝั่งซ้ายเป็น Σ ดูสิ Σ (1/x) δx = (1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/(x - 1)) + c เมื่อ x > 0 อนุกรม 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/(x - 1) เรียกว่า อนุกรมฮาร์โมนิก (Harmonic Series) เราจะใช้สัญลักษณ์ har x เพื่อแทนอนุกรมนี้นะ สูตรนี้ก็จะเขียนใหม่ได้เป็น Σ (1/x) δx = har x + c ผลต่างของ har x ก็คือ Δ(har x) = 1/x ข้อสังเกต: โดเมนของ ln x คือ (0, ∞) และโดเมนของ har x คือ {1, 2, 3, ...} แล้วเอาไปใช้ยังไงหละ? ลุยต่อนะ ต่อไปนี้จะแสดงถึง Summation By Parts ดูสัญลักษณ์ใหม่ก่อน ตัวนี้แปลว่า "ค่าถัดไป" E f(x) = f(x + 1) คุณสมบัติสำคัญของ E ก็คือ E[f(x) + g(x)] = E[f(x)] + E[g(x)] E[f(x) g(x)] = E[f(x)] E[g(x)] E[f(g(x))] = f(E[g(x)]) ความสัมพันธ์ของ Δ กับ E ก็คือ Δ = E - 1 ต่อไปนี้คือ ผลต่างของผลคูณ สมมติว่า u กับ v เป็นฟังก์ชันของ x นะ Δ[uv] = (E - 1)[uv] = E[uv] - uv = E[u]E[v] - uv ลองเอา uE[v] บวกเข้าแล้วลบออก Δ[uv] = E[u]E[v] - uE[v] + uE[v] - uv = (E[u] - u)E[v] + u(E[v] - v) = (E - 1)[u]E[v] + u(E - 1)v = u Δv + Ev Δu ได้สูตรแล้ว หน้าตาคล้าย ๆ กับ d(uv) = u dv + v du เนอะ เมื่อกี๊เราเอา uE[v] บวกเข้าแล้วลบออก แต่จริง ๆ แล้วเราเอา vE[u] แทนก็ได้ สูตรจะเป็น Δ[uv] = Eu Δv + v Δu คราวนี้ เราหาผลรวมสองข้าง (ใช้สูตรบนนะ เพราะอยากได้สูตรของ Σ u Δv δx) uv = Σ u Δv δx + Σ Ev Δu δx ย้ายข้าง ก็จะได้สูตร by parts Σ u Δv δx = uv - Σ Ev Δu δx เอามาใช้ยังไงหละ? ลองดูโจทย์ integration by parts ง่าย ๆ ก่อนอันนึงละกัน ∫ xex dx = ∫ x [d(ex)/dx] dx = xex - ∫ ex [d(x)/dx] dx = xex - ex + c คราวนี้ลองคิดเหมือนกัน แต่เป็นแบบผลบวก Σ x2x δx = Σ x [Δ(2x)] δx = x2x - Σ 2x + 1 [Δ(x)] δx = x2x - 2 ⋅ 2x + c คิดได้เกือบเหมือนกันเลย ต่างกันนิดนึงก็เพราะว่าสูตร summation by parts มันมีตัว E ห้อยอยู่หน้า v น่ะเอง คราวนี้พอก่อนนะ เดี๋ยวมาเล่นกับพวกนี้อีก