ลำดับตอนที่ #5
คืนค่าการตั้งค่าทั้งหมด
คุณแน่ใจว่าต้องการคืนค่าการตั้งค่าทั้งหมด ?
ลำดับตอนที่ #5 : สัจพจน์ความบริบูรณ์ (The axiom of completeness)
สมบัติความบริบูรณ์ เป็นสมบัติสุดท้ายของระบบจำนวนจริงคะ ซึ่งทางบทแรกๆของจำนวนจริงนั้นได้เคยพูดถึงคุณสมบัติต่างๆของจำนวนจริงไปแล้วนะคะ ซึ่งสมบัติความบริบูรณ์นี้ จะเป็นสมบัติสุดท้ายของระบบจำนวนจริงที่จำนวนอื่นไม่มี และเรามีชื่อเรียกชื่ออีกอย่างหนึ่งว่า สัจพจน์การมีค่าขอบเขตบนน้อยที่สุด (lest upper bound axiom)
ซึ่งก่อนอื่น พวกเราก็ต้องมาทำความรู้จักกับคำว่า "ค่าขอบเขตบท" กันเสียก่อนนะคะ เพราะมันมีความสำคัญมากสำหรับในเรื่องนี้ โดยจากนิยามที่ได้กล่าวเอาไว้ว่า
นั่นก็คือว่า: เป็นค่าขอบเขตบนของ ก็ต่อเมื่อ สำหรับทุกๆ
โดยที่ สัจพจน์ของระบบจำนวนจริงนั้นก็คือ ข้อความที่เป็นจริงได้โดยที่ไม่ต้องพิสูจน์ ซึ่งมีทั้งหมด 15 สัจพจน์ด้วยกัน ดังที่แสดงให้เห็นดังนี้
สัจพจน์ที่ 1 ถ้า จะได้
สัจพจน์ที่ 2 ถ้า จะได้
สัจพจน์ที่ 3 มี โดยที่ สำหรับทุก
สัจพจน์ที่ 4 ถ้า จะมี ซึ่ง
สัจพจน์ที่ 5 ถ้า จะได้
สัจพจน์ที่ 6 ถ้า จะได้
สัจพจน์ที่ 7 ถ้า จะได้
สัจพจน์ที่ 8 มี ซึ่ง สำหรับทุก
สัจพจน์ที่ 9 ถ้า จะมี ซึ่ง
สัจพจน์ที่ 10 ถ้า จะได้
สัจพจน์ที่ 11 ถ้า แล้ว
สัจพจน์ที่ 12 มีสับเซต ของ ซึ่ง และ ถ้า และ แล้ว หรือ ประการใดประการหนึ่ง
สัจพจน์ที่ 13 ถ้า แล้ว
สัจพจน์ที่ 14 ถ้า แล้ว
สัจพจน์ที่ 15 ถ้า และ มีขอบเขตบนแล้ว จะมีขอบเขตบนน้อยที่สุด
ตัวอย่างที่ 1 ให้
จะได้ว่า 8 และจำนวนจริงทุกตัวที่มากกว่า 8 เป็นขอบเขตบนของ 8 และขอบเขตบนที่น้อยที่สุดคือ 8
ตัวอย่างที่ 2 ให้
จะได้ว่า 5 และจำนวนจริงทุกตัวที่มากกว่า 5 เป็นขอบเขตบนของ 8 และ ขอบเขตบนที่น้อยที่สุด คือ 5
ตัวอย่างที่ 3 ให้
จะได้ว่า 7 และจำนวนจริงทุกตัวที่มากกว่า 7 เป็นขอบเขตบนของ 5 และขอบเขตบนที่น้อยที่สุดคือ 7
ตัวอย่างที่ 4 ให้
จะได้ว่า ไม่มีขอบเขตบน
ตัวอย่างที่ 5 ให้
จะได้ว่า จำนวนจริงทุกจำนวนเป็นขอบเขตบนของ และ ไม่มีขอบเขตบนที่น้อยที่สุด
จากตัวอย่าง แสดงให้พวกเราทุกคนเห็นถึงความหมายของขอบเขตบนได้ชัดเจนมากขึ้น และสามารถนำความรู้นี้มาใช้ในการตอบคำถามได้อย่างถูกต้องแม่นยำคะ
ซึ่งก่อนอื่น พวกเราก็ต้องมาทำความรู้จักกับคำว่า "ค่าขอบเขตบท" กันเสียก่อนนะคะ เพราะมันมีความสำคัญมากสำหรับในเรื่องนี้ โดยจากนิยามที่ได้กล่าวเอาไว้ว่า
บทนิยาม ให้ กล่าวว่า จำนวนจริง จะเป็นค่าขอบเขตบนของ ก็ต่อเมื่อ มีค่าไม่น้อยกว่าสมาชิกใดๆของ ในกรณีนี้เราเรียกว่า มีขอบเขตบน
นั่นก็คือว่า: เป็นค่าขอบเขตบนของ ก็ต่อเมื่อ สำหรับทุกๆ
โดยที่ สัจพจน์ของระบบจำนวนจริงนั้นก็คือ ข้อความที่เป็นจริงได้โดยที่ไม่ต้องพิสูจน์ ซึ่งมีทั้งหมด 15 สัจพจน์ด้วยกัน ดังที่แสดงให้เห็นดังนี้
สัจพจน์ที่ 1 ถ้า จะได้
สัจพจน์ที่ 2 ถ้า จะได้
สัจพจน์ที่ 3 มี โดยที่ สำหรับทุก
สัจพจน์ที่ 4 ถ้า จะมี ซึ่ง
สัจพจน์ที่ 5 ถ้า จะได้
สัจพจน์ที่ 6 ถ้า จะได้
สัจพจน์ที่ 7 ถ้า จะได้
สัจพจน์ที่ 8 มี ซึ่ง สำหรับทุก
สัจพจน์ที่ 9 ถ้า จะมี ซึ่ง
สัจพจน์ที่ 10 ถ้า จะได้
สัจพจน์ที่ 11 ถ้า แล้ว
สัจพจน์ที่ 12 มีสับเซต ของ ซึ่ง และ ถ้า และ แล้ว หรือ ประการใดประการหนึ่ง
สัจพจน์ที่ 13 ถ้า แล้ว
สัจพจน์ที่ 14 ถ้า แล้ว
สัจพจน์ที่ 15 ถ้า และ มีขอบเขตบนแล้ว จะมีขอบเขตบนน้อยที่สุด
ตัวอย่างที่ 1 ให้
จะได้ว่า 8 และจำนวนจริงทุกตัวที่มากกว่า 8 เป็นขอบเขตบนของ 8 และขอบเขตบนที่น้อยที่สุดคือ 8
ตัวอย่างที่ 2 ให้
จะได้ว่า 5 และจำนวนจริงทุกตัวที่มากกว่า 5 เป็นขอบเขตบนของ 8 และ ขอบเขตบนที่น้อยที่สุด คือ 5
ตัวอย่างที่ 3 ให้
จะได้ว่า 7 และจำนวนจริงทุกตัวที่มากกว่า 7 เป็นขอบเขตบนของ 5 และขอบเขตบนที่น้อยที่สุดคือ 7
ตัวอย่างที่ 4 ให้
จะได้ว่า ไม่มีขอบเขตบน
ตัวอย่างที่ 5 ให้
จะได้ว่า จำนวนจริงทุกจำนวนเป็นขอบเขตบนของ และ ไม่มีขอบเขตบนที่น้อยที่สุด
จากตัวอย่าง แสดงให้พวกเราทุกคนเห็นถึงความหมายของขอบเขตบนได้ชัดเจนมากขึ้น และสามารถนำความรู้นี้มาใช้ในการตอบคำถามได้อย่างถูกต้องแม่นยำคะ
แบบฝึกหัด8
จงบอกว่าข้อความต่อไปนี้ ถูก หรือผิด
1. 32.7 เป็นขอบเขตบนของ
2. เป็นขอบเขตบนของ
3. เซตของขอบเขตบนของ คือ
4. มีของเขตบน
5. มีขอบเขตบน
6. ขอบเขตบนของ จะต้องเป็นสมาชิกของ
7. ขอบเขตบนของ ต้องไม่เป็นสมาชิกของ
8. สับเซตของ ทุกสับเซต จะต้องมีขอบเขตบน
9. เซตของจำนวนนับไม่มีขอบเขตบน
จงบอกว่าข้อความต่อไปนี้ ถูก หรือผิด
1. 32.7 เป็นขอบเขตบนของ
2. เป็นขอบเขตบนของ
3. เซตของขอบเขตบนของ คือ
4. มีของเขตบน
5. มีขอบเขตบน
6. ขอบเขตบนของ จะต้องเป็นสมาชิกของ
7. ขอบเขตบนของ ต้องไม่เป็นสมาชิกของ
8. สับเซตของ ทุกสับเซต จะต้องมีขอบเขตบน
9. เซตของจำนวนนับไม่มีขอบเขตบน
ผู้เขียน: ดร. ภคินี สุวรรณจันทร์
เฉลย สามารถ Download เฉลยแบบฝึกหัดได้ที่นี่ Solution.pdf
เก็บเข้าคอลเล็กชัน
ความคิดเห็น