นิยาย น่ารู้รอบตัว เรื่องคณิตศาสตร์ > ลำดับตอนที่ #6 : ลำดับ (Sequence) คืออะไร ? : Dek-D.com

ลำดับตอนที่ #6 : ลำดับ (Sequence) คืออะไร ?

เนื้อหาตอนนี้เปิดให้อ่าน
2.16K

0

17 มิ.ย. 50

ถ้าน้อง ๆ เคยเห็นข้อสอบวัดไอคิว อาจเคยเห็นข้อสอบ ประเภทให้ตัวเลขมา 3-4 ตัว แล้วถามว่า ตัวเลขถัดไปจะเป็นอะไร ตัวอย่างเช่น 1, 2, 4, 7, .... แล้วตัวต่อไปจะเป็นอะไร จากนั้นก็จะมีการพัฒนาข้อสอบเป็น ลำดับรูปภาพต่าง ๆ ให้ได้คิดกัน นอกจากนี้ ในชีวิตประจำวันของ ยังคุ้นเคยกับคำว่า ลำดับ คือ การเรียงกันของสิ่งของ หรือเหตุการณ์ต่าง ๆ

ลำดับตัวเลข คือ ฟังก์ชันที่นิยามบนเซตของจำนวนเต็มบวก ตัวเลขในลำดับแต่ละตัวเรียกว่า “พจน์ (term)” หรือเราสามารถนิยามได้ว่า ลำดับ คือ เซตของจำนวนที่เรียงเป็น $a_1, a_2, a_3, \ldots$ โดยมีการเรียงที่เป็นแบบแผนขั้นตอน เลขที่ห้อยอยู่บอกถึงตำแหน่งของเลขในลำดับนั้น

ตัวอย่างเช่น

$1, 3, 5, 7, \ldots$ และ $2, 4, 8, 16, \ldots$

จากตัวอย่างที่ 1 เลขลำดับที่ 1 คือ 1, ลำดับที่ 2 คือ 3, ลำดับที่ 3 คือ 5, . . ., แล้ว เราสามารถหารูปแบบได้ว่า ลำดับที่ n^th ( a_n

) คือ

ได้อย่างไม่ยาก

ส่วนตัวอย่างที่ 2 เลขลำดับที่ 1 คือ 2, ลำดับที่ 2 คือ 4, ลำดับที่ 3 คือ 8, . . ., แล้ว เราสามารถหารูปแบบได้ว่า ลำดับที่ n^th ( a_n

) คือ

ได้อย่างไม่ยากเช่นกัน

การเขียนแทนลำดับนอกจาก $a_1,a_2,a_3,\ldots,a_n,\ldots$ หรือ $\{a_1,a_2,a_3,\ldots,a_n,\ldots\}$ แล้ว เรายังสามารถเขียนได้ในรูป $\{ a_n \}^{\infty}_{n=1}$ หรือ $\{a_n\}$ เรียกว่า “Bracket notation” ซึ่งแทนลำดับที่มีพจน์ทั่วไป เป็น a_n

เรียก

ว่าพจน์ ที่ 1 ของลำดับ
เรียก a_2

ว่าพจน์ ที่ 2 ของลำดับ
เรียก a_3

ว่าพจน์ ที่ 3 ของลำดับ
......................................................
เรียก a_n

ว่าพจน์ ที่ n ของลำดับ

จะเห็นได้ว่าลำดับเป็นเซตของจำนวนที่เรียงลำดับกันภายใต้กฎเกณฑ์ อย่างใดอย่างหนึ่งร่วมกัน ลำดับที่มีพจน์เป็นจำนวนจำกัด เรียกว่า ลำดับจำกัด ( Finite Sequence ) ลำดับที่มีจำนวนพจน์ ไม่จำกัด เรียกว่า ลำดับอนันต์ ( Infinite Sequence )

การกำหนดลำดับหนึ่ง มักจะบอกโดยสูตร สำหรับพจน์ที่ n ในลำดับนั้น เช่น ลำดับ $2,4,6,8,\ldots$ อาจจะบอกโดย $2,4,6,8,\ldots,2n,\ldots$ เมื่อ

เป็นจำนวนเต็มบวกหรือเขียนให้กระชับขึ้นโดยใช้สัญลักษณ์ $\{2n\}^{+\infty}_{n=1}$ ในสัญลักษณ์ นี้ แต่ละพจน์เกิดจากการแทนจำนวนเต็ม $n = 1,2,3,\ldots$ ลงในสูตร

ตัวอย่าง 1 จงเขียน 5 พจน์แรกของลำดับ $\{2^n\}^{+\infty}_{n=1}$
วิธีทำ แทน n=1,2,3,4,5

ลงในสูตร

ได้
$2^1,2^2,2^3,2^4,2^5,\ldots$ หรือ $2,4,8,16,,32,\ldots$

ตัวอย่าง 2 จงเขียนลำดับต่อนี้ในรูป Bracket notation

(ก) $\displaystyle{\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{4}{5},\ldots}$ ตอบ $\displaystyle{\{\frac{n}{n+1}\}}$	(ข) $\displaystyle{\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\frac{1}{16},\ldots}$ ตอบ $\displaystyle{\{\frac{1}{2^n}\}}$
(ค) $1,-1,1,-1,\ldots$ ตอบ $\displaystyle{\{(-1)^{n+1}\}}$	(ง) $\displaystyle{\frac{1}{2},-\frac{2}{3},\frac{3}{4},-\frac{4}{5},\ldots}$ ตอบ $\displaystyle{\{(-1)^{n+1}\frac{n}{n+1}\}}$
(จ) $1,3,5,7,\ldots$ ตอบ $\{2n-1\}$

ข้อสังเกต อักษร

และ

อาจจะใช้ตัวอักษร อื่นแทนได้ เช่น a_n

อาจจะแทนด้วย b_k

ก็ได้ จากที่กล่าวมาข้างต้นจะเห็นว่าในการเขียนลำดับ
$2,4,8,16,32,\ldots,2^n,\ldots$ หรือ $\{2^n\}^{+\infty}_{n=1}$ (1)
เป็นการกำหนดความเกี่ยวข้องระหว่างจำนวน 2^n

และจำนวนเต็มบวก

ซึ่งกล่าวได้อีกแบบหนึ่งว่า $\{2^n\}^{+\infty}_{n=1}$ เป็นสูตรสำหรับฟังก์ชันที่มีตัวแปรอิสระคือ

แปรค่าบนจำนวนเต็มบวก ดังนั้น อาจจะเขียน (1) ในรูปฟังก์ชันเป็น f(n) = 2^n

, $n=1,2,3,\ldots$ และ $2,4,8,16,32,\ldots,2^n,\ldots$ แทนฟังก์ชัน $f(1),f(2),f(3),\ldots,f(n),\ldots$

เนื่องจากทุกลำดับมีโดเมน คือ เซตของจำนวนเต็มบวกเหมือนกัน ดังนั้น ต่อไปจะเขียน $\{a_n\}$ แทน $\{a_n\}^{+\infty}_{n=1}$ หรือ $\{f(n)\}$ แทน $\{f(n)\}^{+\infty}_{n=1}$

ลำดับอนันต์ (Infinite Sequence) คือ ลำดับที่ไม่มีจุดจบ เช่น ลำดับของจำนวนนับ 1, 2, 3, ...
ลำดับจำกัด (Finite Sequence) คือ ลำดับที่มีจำนวนพจน์จำกัด ตัวอย่างเช่น ลำดับหน้าของหนังสือเล่มหนึ่ง

ลำดับชนิดพิเศษ

1) ลำดับเลขคณิต (Arithmetic sequence)
ลำดับเลขคณิต เป็น ลำดับเลขที่แต่ละพจน์หลังจากพจน์แรกมีค่าเพิ่มขึ้น หรือลดลง จากพจน์หน้าที่ติดกัน ด้วยค่าต่างคงที่ เรียกว่า ผลต่างร่วมของลำดับ
ตัวอย่างเช่น 3, 6, 9, 12, . . .

เราทราบว่าลำดับนี้เป็นลำดับเลขคณิต เพราะ มีผลต่างร่วม = 3 = 12 -9 = 9 -6 = 6 -3
ถ้าเราแทนพจน์แรกด้วย a_1

, และพจน์ที่

ด้วย

เราจะได้ว่า a_i = a_1 + 3(i-1) = 3+ (3i-3) = 3i

ดังนั้นเราจึงมีสูตรว่า a_i = a_1 + d(i -1)

เมื่อ

แทนผลต่างร่วมของลำดับนี้

2) ลำดับเรขาคณิต (Geometric sequence)
ลำดับเรขาคณิต เป็น ลำดับเลขที่แต่ละพจน์หลังจากพจน์แรกมีค่าเพิ่มขึ้น หรือลดลง โดยการคูณพจน์หน้าที่ติดกัน ด้วยค่าคงที่ เรียกว่า อัตราส่วนร่วมของลำดับ
ตัวอย่างเช่น 2, 4, 8, 16, . . .

เราทราบว่าลำดับนี้เป็นลำดับเรขาคณิต เพราะ มีอัตราส่วนร่วม = 2 = 4 / 2 = 8 / 4 = 16 / 8

ถ้าเราแทนพจน์แรกด้วย a_1