All that Maths!

Introduction to Mathematics

งานเขียนของผม จะเน้นไปทาง การสร้างแนวคิด การหาเทคนิคต่างๆ ที่เกิดจากความเข้าใจ ไม่ใช่การจำสูตร

การเรียนคณิตศาสตร์ ต่างกับการเรียนวิชาอื่นๆตรงไหน?

คณิตศาสตร์ เป็นศิลปะครับ บทพิสูจน์ สมการ หรือแม้แต่ทฤษฎีบทต่างๆที่สวยงามของคณิตศาสตร์นั้น เปรียบเสมือนบทกวี น้อยคนนักในสมัยนี้จะมองเห็นถึงความสวยงามนี้ครับ

คณิตศาสตร์เป็นศิลป์ซึ่งสามารถสร้างใหม่ หรือต่อยอดแนวความคิดเดิมๆได้โดยไม่ต้องอาศัยใครๆมาสอนเรา ไม่เหมือนดังเช่นวิชาอื่นๆ เช่น หากเราต้องการจะเก่งเคมี เราจำเป็นต้องรู้ตารางธาตุ เราต้องรู้นั่นรู้นี่ ใช้เวลาศึกษากับมันอยู่พอสมควร

แต่คณิตศาสตร์.. ไม่ใช่แบบนั้น   สมมติว่าผมบอกกับเด็กน้อยซึ่งบวกเลขเป็นคนหนึ่งว่า เลขคู่คืออะไร เด็กคนนั้นก็สามารถคิดต่อไปเองได้เลยว่า เลขคู่สองตัวบวกกัน ก็ยังคงได้เลขคู่อยู่ และถ้าผมบอกต่อไปอีกหน่อยว่า เลขคี่คืออะไร เด็กคนนั้นอาจสามารถคิดต่อยอดเองได้อีกว่า เลขคี่สองตัวบวกกัน ก็จะได้เลขคู่อีกเหมือนกัน

ใช่ครับ.. เด็กน้อยนี้ได้สร้างทฤษฎีบทขึ้นมาเรียบร้อยแล้วหนึ่งบท

พอจะเห็นความงดงามของมันบ้างหรือยังครับ

คราวนี้มีอะไรอีก ที่ทำให้คณิตศาสตร์น่าสนใจ ?

คณิตศาสตร์เป็นศิลป์ที่มีและไม่มีความสมบูรณ์ในตัวเองพร้อมๆกัน นักคณิตศาสตร์ชาวฮังการีชื่อ คูร์ท เกอเดล บิดาแห่งวิชาตรรกวิทยาสมัยใหม่ ได้แสดงบทพิสูจน์นี้เอาไว้อย่างสวยงาม ว่า ไม่มีระบบใดที่จะมีความสมบูรณ์ในตัวมันเองได้ ดังนั้นทำให้มีการสร้าง และยอมรับข้อตกลงเบื้องต้น เป็นรากฐานของคณิตศาสตร์ และสร้างคณิตศาสตร์ขึ้นจากรากฐานนั้น

อ่านแล้วงงไหมครับ ผมจะพูดถึงทีละประเด็นก่อนแล้วกันครับ

ความสมบูรณ์ คณิตศาสตร์มันสมบูรณ์ยังไง ในแง่ไหน ผมจะเล่าให้ฟังแบบดีแล้วกันครับ เราใช้ฟิสิกส์แก้ปัญหาต่างๆทางกลศาสตร์ ทางไฟฟ้า ทางควอนตัม ทางพลศาสตร์ หรือทางด้านอื่นๆมากมายได้ หากแต่ การแก้ปัญหานั้น จะต้องอยู่ภายใต้เงื่อนไขๆหนึ่ง นั่นคือ เป็น ideal หรือในอุดมคติ นั่นคือ นำมาใช้แก้ปัญหาที่เกิดขึ้นจริงบนโลกไม่ได้ หากแต่ใกล้เคียงมากๆ จนยอมรับได้ แต่นี่ไม่ใช่ปัญหาครับ ปัญหาคือ ทฤษฎีต่างๆทางฟิสิกส์ หรือจะทางเคมี หรือจะทางใดๆก็แล้วแต่ ล้วนเป็นจริงเฉพาะบนพื้นโลกนี้เท่านั้นครับ หากเราไปยืนอยู่บนดวงจันทร์ ทฤษฎีที่เราเคยรู้มาทั้งหมด จะไม่เป็นจริงอีกต่อไป แล้วคณิตศาสตร์ล่ะ? แน่นอนครับ คณิตศาสตร์เป็นจริงสำหรับทุกที่ไม่ว่าบนโลก บนดวงจันทร์ บนดาวศุกร์ หรือแม้แต่ที่นอกเอกภพ

พอเห็นภาพมากขึ้นไหมครับ?

ต่อมาเป็นเรื่องของความไม่สมบูรณ์กันบ้าง.. เมื่อกี้นี้ผมได้เกริ่นเรื่องเกี่ยวกับ การสร้างข้อตกลงเบื้องต้นกันมาบ้างแล้ว แล้วเคยสงสัยไหมครับ ว่าถ้าหากไม่ยอมรับล่ะ.. จะเป็นอย่างไร?
คณิตศาสตร์ที่เราๆเคยรับรู้กันมา ส่วนมากแล้ว เราจะนิยามมันอยู่บนพื้นแบบหนึ่ง ซึ่งเราเรียกมันว่า Euclidean Space ซึ่งหากเราไม่ยอมรับข้อตกลงบน Euclidean Space นี้ เราจะมีการสร้างข้อตกลงใหม่บางบท หรือทั้งหมดก็ได้ เพื่อให้เกิด Space ใหม่ๆขึ้น ซึ่งทำให้สามารถเกิดสาขาและคณิตศาสตร์แบบใหม่ๆเกิดขึ้นได้ตลอดเวลา แต่ข้อจำกัดของมันคือ ความจำเป็นในการต้องยอมรับข้อตกลงเบื้องต้นนั้นก่อน ทำให้คณิตศาสตร์ไม่มีความสมบูรณ์ในตัวเอง

แล้วมันดีอย่างไร? ตอบว่า มันทำให้คณิตศาสตร์สามารถต่อยอดไปได้ไม่รู้จบ ในขณะที่ทางด้านฟิสิกส์ เราอาจสามารถหาทฤษฎีมาอธิบายปรากฎการณ์ต่างๆได้ทั้งหมด ทางเคมีเราอาจหาธาตุ และศึกษาสมบัติของมันจนครบ ทางชีววิทยา เราอาจสามารถศึกษาทุกสายพันธุ์ของสิ่งมีชีวิตได้  แต่ทางคณิตศาสตร์ เราไม่ตายครับ เราสามารถสร้างใหม่ได้ตลอดเวลา

แล้วสร้างขึ้นเยอะขนาดนั้นมันมีประโยชน์หรือไม่? ตอบแบบตรงไปตรงมาครับ ว่า มีบ้าง ไม่มีบ้าง คณิตศาสตร์ในมุมมองของผู้ใช้ อาจมองเพียงการประยุกต์ใช้กับเรื่องต่างๆ หากแต่ว่ามุมมองสำหรับนักคิด เรามองที่ความสวยงามครับ อย่างที่ผมกล่าวไว้แล้ว ว่าคณิตศาสตร์ จัดเป็นศิลปะ พูดตรงๆว่า ถ้าคนอื่นๆมองมา อาจจะเห็นเหมือนคนบ้า คนเพ้อครับ แต่สำหรับนักคิดแล้ว เรามีความสุขครับ กับการที่คนอื่นเรียกเราว่า "ผู้เสพย์ติดคณิตศาสตร์" ^^

ดินสอทราย  นักเขี่ยมือใหม่ นักเสพย์มืออาชีพ...