ตั้งค่าการอ่าน

ค่าเริ่มต้น

  • เลื่อนอัตโนมัติ
    น่ารู้รอบตัว เรื่องคณิตศาสตร์

    ลำดับตอนที่ #8 : ลิมิตของลำดับ

    • เนื้อหานิยายตอนนี้เปิดให้อ่าน
    • 6.72K
      0
      17 มิ.ย. 50

    ในการที่จะกล่าวว่า ลำดับ \{a_n\} เข้าใกล้ลิมิต L เมื่อ n มีค่ามากขึ้น นั่นหมายถึงว่าพจน์ในลำดับนั้นมีค่าเข้าใกล้จำนวน L ดังนั้น ถ้าเราเลือกจำนวนบวก \epsilon ใดๆ พจน์ต่างๆ ในลำดับนั้นจะต่างจาก L ไม่เกิน \pm\epsilon นั่นคือ ถ้าลากเส้น y = L + \epsilon และ y = L - \epsilon แล้วพจน์ในลำดับนั้นจะถูกกักอยู่ภายในแถบระหว่างเส้นทั้งสอง

    นิยาม1.3.1 จะเรียกว่าลำดับ y = L + \epsilon มีลิมิต L ถ้ากำหนด \epsilon >0 ใดๆ แล้วมีจำนวนเต็มบวก N โดยที่ |a_n-L|<\epsilon เมื่อ n\leq N


    ถ้า ลำดับ y = L + \epsilon มีลิมิต L แล้วเรากล่าวว่าลำดับ คอนเวอร์จ หรือลู่เข้า และเขียน เขียน ^{\lim}_{n\rightarrow\infty} a_n = L และเรียกลำดับที่ไม่มีลิมิตว่า ไดเวอร์จ หรือ ลู่ออก

    การคำนวณค่าลิมิตของลำดับ ( Calculating limit of Sequence )

    ทฤษฎีบท 1.3.2 กำหนดให้ \{a_n\} และ \{b_n\} เป็นลำดับของจำนวนจริง และ A, B, k เป็นจำนวนจริง ถ้า ^{\lim}_{n\rightarrow\infty} a_n = A และ ^{\lim}_{n\rightarrow\infty} b_n = B แล้วจะได้ว่า

    1. ^{\lim}_{n\rightarrow\infty } (a_n+b_n) = A+B ( Sum Rule )
    2. ^{\lim}_{n\rightarrow\infty } (a_n-b_n) = A-B ( Difference Rule )
    3. ^{\lim}_{n\rightarrow\infty } (a_n\cdot b_n) = A\cdot B ( Product Rule )
    4. \displaystyle{^{\lim}_{n\rightarrow\infty } \frac{a_n}{b_n} = \frac{A}{B}} , B\neq 0 ( Qutient Rule )
    5. ^{\lim}_{n\rightarrow\infty } k b_n = k B ( Constant Multiple Rule )


    ทฤษฎีบท 1.3.3 ถ้าให้ f(x) เป็นฟังก์ชันที่นิยามสำหรับ x>n_0 และ \{a_n\} เป็นลำดับของจำนวนจริง ซึ่งทำให้ a_n = f(n) สำหรับ n>n_0 แล้วจะได้ว่า
    ถ้า ^{\lim}_{x\rightarrow\infty } f(x) = L แล้ว ^{\lim}_{n\rightarrow\infty } a_n = L


    จาก ท.บ. 1.3.2 ถ้าในการคำนวณ ^{\lim}_{x\rightarrow\infty } f(x) = L ได้ลิมิตอยู่ในรูป \displaystyle{\frac{0}{0}} หรือ \displaystyle{\frac{\infty}{\infty}} ควรใช้กฎของโลปิตาล หรือ วิธีการแยกตัวประกอบ หรือ แยกแฟกเตอร์ ช่วยในการหาลิมิต

    ลำดับต่อไปนี้เป็นลำดับลู่เข้าหรือไม่?

    1. \displaystyle{\{\frac{1-6n^4}{n^2+8n^3}\}}
    ตอบ ลู่เข้า -6

    2. \displaystyle{\{\frac{n^2-2n+1}{n-1}\}}
    ตอบ ลู่ออก

    3. \displaystyle{\{\frac{2^{1000}+2^{n-1}+3^{n-2}}{2^n+3^n+5}\}}
    ตอบ ลู่เข้า \displaystyle{\frac{1}{9}}

    4. \displaystyle{\{n-\sqrt{n^2-n}\}}
    ตอบ ลู่เข้า \displaystyle{\frac{1}{2}}

    5. \displaystyle{\{\ln{n}-\ln{(2n^3+1)}\}}
    ตอบ ลู่ออก

    ในการตรวจสอบการลู่เข้าหรือลู่ออกของลำดับที่มีความซับซ้อนนั้นจำเป็นต้องหาลิมิตในรูปแบบไม่กำหนดลักษณะต่างๆ ( \pm\frac{\infty}{\infty}, 0\cdot(\pm\infty), 0^0, \pm\infty^0, 1^{\pm\infty}, (\pm\infty)(\pm\infty))

    ซึ่งลิมิตที่ควรรู้จักมีดังนี้

    1) \displaystyle{^{\lim}_{n\rightarrow\infty } \frac{\ln n}{n} = 0}

    2) \displaystyle{^{\lim}_{n\rightarrow\infty } \sqrt[n]{n}= 1}

    3) \displaystyle{^{\lim}_{n\rightarrow\infty } \frac{\sin \left(\frac{1}{n}\right)}{\frac{1}{n}} = 1}

    4) \displaystyle{^{\lim}_{n\rightarrow\infty } c^{\frac{1}{n}} = 1}, c > 0

    5) \displaystyle{^{\lim}_{n\rightarrow\infty } c^{n} = 0}, c > 0

    6) \displaystyle{^{\lim}_{n\rightarrow\infty } \frac{c^{n}}{n!} = 0}

    7) \displaystyle{^{\lim}_{n\rightarrow\infty } \left( 1+\frac{x}{n}\right)^{n} = e^x}, c > 0

    กรณี 4)-6) c เป็นค่าคงที่


    โจทย์ จงทดสอบลำดับอนันต์ \displaystyle{\left\{\left(\frac{1+n}{n-1}\right)^n\right\}}

    ตอบ ใส่ \ln เข้าไปหน้าฟังก์ชัน \displaystyle{\left(\frac{1+x}{x-1}\right)^x} ก่อนใช้กฎโลปิตาล แล้วจะได้ว่า ลำดับนี้ลู่เข้า e^2



    ทฤษฎีบท 1.3.4 ( The Sandwich Theorem of Sequence )
    ให้ \{a_n\} และ \{b_n\} และ \{c_n\} เป็นลำดับของจำนวนจริง โดยที่ a_n\leq b_n \leq c_n ทุกๆค่า n ถ้า ^{\lim}_{n\rightarrow\infty } a_n = ^{\lim}_{n\rightarrow\infty } c_n = L แล้วจะได้ว่า ^{\lim}_{n\rightarrow\infty } b_n = L


    ตัวอย่าง จงแสดงว่าลำดับ \displaystyle{\left\{\frac{\sin n}{n}\right\}} ลู่เข้า

    วิธีทำ เราทราบว่า \displaystyle{-\frac{1}{n}\leq \frac{\sin n}{n}\leq \frac{1}{n}} และเพราะ \displaystyle{^{\lim}_{n\rightarrow\infty } \frac{-1}{n} = ^{\lim}_{n\rightarrow\infty } \frac{1}{n} = 0}

    เราจึงสรุปได้ว่า \displaystyle{^{\lim}_{n\rightarrow\infty } \frac{\sin n}{n} = 0} ด้วย โดยทฤษฎีบท 1.3.4


    ทฤษฎีบท 1.3.5 ( The Continuous Function Theorem for sequence )
    ให้ \{a_n\} เป็นลำดับของจำนวนจริง ซึ่ง ^{\lim}_{n\rightarrow\infty } a_n = L และ f เป็นฟังก์ชันที่ต่อเนื่อง ที่ นิยาม ที่ a_n ทุกค่า n แล้ว ^{\lim}_{n\rightarrow\infty } f(a_n) = f(L)
    หมายเหตุ อาจเขียนได้ว่า a_n\rightarrow L แล้ว f(a_n)\rightarrow f(L)


    ตัวอย่าง ลำดับ \displaystyle{\left\{\sin \left(\frac{n\pi+2}{2n}\right)\right\}} เป็นลำดับลู่เข้าหรือไม่

    วิธีทำ เนื่องจาก \displaystyle{^{\lim}_{n\rightarrow\infty } \frac{n\pi+2}{2n} = \frac{\pi}{2}} จึงได้ว่า \displaystyle{^{\lim}_{n\rightarrow\infty } \sin \left(\frac{n\pi+2}{2n}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1}


    ผู้เขียน: ดร. ธีรเดช เจียรสุขสกุล

    ติดตามเรื่องนี้
    เก็บเข้าคอลเล็กชัน

    นิยายที่ผู้อ่านนิยมอ่านต่อ ดูทั้งหมด

    loading
    กำลังโหลด...

    อีบุ๊ก ดูทั้งหมด

    loading
    กำลังโหลด...

    ความคิดเห็น

    ×