นิยาย น่ารู้รอบตัว เรื่องคณิตศาสตร์ > ลำดับตอนที่ #4 : การแก้อสมการ : Dek-D.com

ลำดับตอนที่ #4 : การแก้อสมการ

เนื้อหาตอนนี้เปิดให้อ่าน
3.82K

4

13 มิ.ย. 50

จากที่เพื่อนๆเคยเรียนผ่านกันมาเกี่ยวกับเรื่องการแก้สมการตัวแปรเดียว หรือว่าหลายตัวแปรนั้น มีความเกี่ยวเนื่องบางประการสำหรับการที่จะนำความรู้ของเรื่องสมการนั้นเพื่อนำมาใช้ในบทนี้

สำหรับหัวข้อนี้นั้น เราจะพูดถึงวิธีการแก้อสมการในรูปแบบต่างๆได้อย่างไร โดยที่คุณสัมบัติหลักที่ใช้มากในการแก้อสมการนั้น คือ คุณสมบัติการไม่เท่ากัน ได้แก่
1. คุณสมบัติการบวกด้วยจำนวนเท่ากัน
2. คุณสมบัติการลบด้วยจำนวนเท่ากัน
3. คุณสมบัติการคูณด้วยจำนวนจริงบวก
4. คุณสมบัติการคูณด้วยจำนวนจริงลบ

โดยการที่เราจะทำการแก้อสมการนั้น เราจะแยกตามประเภทของอสมการในแต่ละประเภทดังนี้คือ

การแก้อสมการกำลังหนึ่ง

อสมการกำลังหนึ่งนั้น เป็นอสมการที่มีตัวแปรยกกำลังหนึ่งเท่านั้น และสามารถที่จะจัดอสมการในรูปของ

$ax \le b$
ax < b

$ax \ge b$
ax > b

โดยที่เราจะกำหนดให้

เป็นตัวแปร และ a,b

เป็นค่าคงที่ และจากคุณสมบัติดังกล่าวนี้นั้น เราสามารถที่จะนำมาใช้ในการแก้ปัญหาอสมการประเภทนี้ โดยที่คุณสมบัติข้อ 1 และข้อ 2 นั้นจะถือว่าเป็น คุณสมบัติที่ช่วยในการจัดอสมการกำลังหนึ่งให้อยู่ในรูปที่แสดงดังอสมการข้างต้น และพวกเราสามารถที่นำความรู้นี้มาใช้ในการแก้ปัญหาจากโจทย์แบบฝึกหัดได้คะ

แบบฝึกหัด 6

1. $x - \le 5x-1$
2. $x-8 \le 7-3x$ และ 7-3x < 1

3. $3 \le 2x+4 < 7$
4. $3-x \le 2x+4 < 7$
5. $3x < 4x+2 \le x+11$

การแก้อสมการกำลังสอง

หัวข้อที่แล้วเรากล่าวถึงสมการยกกำลังหนึ่ง ซึ่งสามารถแก้ปัญหาได้โดยง่าย เพราะจะยังไม่มีความซับซ้อนมากเท่าไหร่นัก ซึ่งจากแบบฝึกหัดที่พวกเราได้ทำกันไปแล้วนั้น จะช่วยให้เราสามารถเข้าใจ รับรู้ถึงเทคนิคหรือวิธีบางอย่างในการคำนวณได้ดีมากขึ้น

สำหรับในหัวข้อนี้ เป็นอีกหนึ่งวิธีสำหรับการแก้อสมการ แต่จะเพิ่มระดับความยุ่งยากขึ้นมามากกว่าเล็กน้อย นั่นคือ การแก้โจทย์ปัญหาอสมการกำลังสอง โดยที่การแก้อสมการประเภทนี้นั้น เราสามารถทำได้หลายวิธีด้วยกัน เช่น การแยกตัวประกอบ หรือ การแก้โจทย์โดยที่ใช้วิธีกำลังสองสมบูรณ์

การแก้อสมการกำลังสองนั้น มีนิยามที่แสดงได้อย่างง่ายๆคือ อสมการกำลังสอง ใน

หมายถึง อสมการที่อยู่ในรูปของ
Ax+bx+c < 0

$Ax+bx+c \le 0$
Ax+bx+c > 0

$Ax+bx+c \ge 0$
โดยกำหนดให้

เป็นตัวแปร และ a,b,c

เป็นค่าคงที่ ที่ $a\neq 0$

ซึ่งอย่างที่บอกไปแล้วนั้นว่า วิธีการแก้อสมการกำลังสองนั้นมีวิธีได้หลายวิธี เรามาดูวิธีการแก้ปัญหาของแต่ละประเภทกันดีกว่านะคะ

1. การแก้สมการสมการกำลังสองโดยการแยกตัวประกอบ

และสิ่งที่จะเอ่ยดังต่อไปนี้ จะเป็นวิธีการแก้ปัญหาเกี่ยวกับอสมการอย่างง่ายๆ โดยที่เราจะสรุปเป็นข้อๆ เพื่อให้ง่ายต่อการเข้าใจมากขึ้นนะคะ โดยขั้นตอนในการแก้ปัญหานั้นมีขั้นตอนดังนี้

การแก้อสมการกำลัง 2

อ้างโดยนิยามที่กล่าวไปดังก่อนหน้านี้ เราสามารถที่จะแสดงวิธีในการแก้อสมการได้ดังนี้
1. จัดอสมการเปรียบเทียบกับ 0
2. แยกตัวประกอบ
3. พิจารณาเครื่องหมาย +,-

4. หาคำตอบจากสมการกำลัง 1 จากทั้ง 2 กรณีแล้วนำมายูเนี่ยนกัน
ซึ่งพวกเราสามารถที่จะนำขั้นตอนดังกล่าวมาใช้ได้โดยที่จะสามารถแก้ปัญหาได้อย่างรวดเร็วและถูกต้อง เช่นตัวอย่างดังต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 1 จงหาเซตคำตอบของสมการ $3x^2+10x \ge 8$
วิธีทำ $3x^2+10x \ge 8$
$3x^2+10x-8 \ge 0$ : จัดสมการเปรียบเทียบกับ 0
$(x+4)(3x-2) \ge 0$ : แยกตัวประกอบ

ซึ่งเราจะต้องแบ่งเครื่องหมายในการพิจารณา โดยมีกรณีดังนี้
1. (+)(+) หรือ
2. (-)(-) หรือ

อีกกรณีหนึ่งที่มีเครื่องหมายต่างกัน เราสามารถที่จะแบ่งได้เป็นสองกรณีเช่นกัน แล้วสุดท้ายจะนำคำตอบที่ได้มายูเนี่ยนกัน

1. $x+4 \ge 0$ และ $3x-2 \ge 0$
$x \ge -4$ และ $x \ge \frac{2}{3}$

9866

2. $x+4 \le 0$ และ $3x-2 \le 0$
$x \le -4$ และ $x \le \frac{2}{3}$

9867

เมื่อเรานำค่าที่แยกตัวประกอบนำมาแบ่งเป็นสองกรณีแล้วนั้น ให้นำคำตอบจากสมการกำลัง 1 จากทั้งสองกรณีแล้วนำมายูเนี่ยนกันเพื่อหาคำตอบสุดท้ายออกมาได้ดังนี้

9868

ดังนั้น คำตอบสุดท้ายที่ได้ออกมาก็คือ $(-\infty,4]\bigcup [\frac{2}{3}, \infty)$

วิธีการดังที่กล่าวมาคือสำหรับอสมการกำลังสอง โดยใช้วิธีการแยกตัวประกอบเป็นหลัก หากแต่เพื่อนๆจะทำอย่างไร หากว่า เพื่อนๆ ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้

การแก้อสมการกำลังสองโดยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์

ในสำหรับกรณีที่เพื่อนๆแก้อสมการกำลังสอง โดยที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ หรือ อาจสามารถทำได้แต่ยากและใช้เวลานาน การแก้อสมการกำลังสองนี้อาจใช้วิธีการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ได้คะ ซึ่งมีขั้นตอนง่ายๆดังนี้คะ

ขั้นตอนที่ 1 ทำให้อสมการกำลังสองใน

มีสัมประสิทธิ์ของพจน์ x^2

เท่ากับ 1

$ax^2+bx+c \ge 0$
ax^2+bx+c > 0

$ax^2+bx+c \le 0$
ax^2+bx+c < 0

ขั้นตอนที่ 2 ทำให้อยู่ในรูปของ
$\displaystyle{[x^2+bx+(\frac{b}{2})^2]+c-(\frac{b}{2})^2 \ge 0}$
$\displaystyle{[x^2+bx+(\frac{b}{2})^2]+c-(\frac{b}{2})^2 > 0}$
$\displaystyle{[x^2+bx+(\frac{b}{2})^2]+c-(\frac{b}{2})^2 \le 0}$
$\displaystyle{[x^2+bx+(\frac{b}{2})^2]+c-(\frac{b}{2})^2 < 0}$
ขั้นตอนที่ 3 แทนค่าให้อยู่ในรูปของ
$\displaystyle{(x+\frac{b}{2})^2+c-(\frac{b}{2})^2 \ge 0}$
$\displaystyle{(x+\frac{b}{2})^2+c-(\frac{b}{2})^2 > 0}$
$\displaystyle{(x+\frac{b}{2})^2+c-(\frac{b}{2})^2 \le 0}$
$\displaystyle{(x+\frac{b}{2})^2+c-(\frac{b}{2})^2 < 0}$

เพื่อนๆสามารถทำตามขั้นตอนที่กำหนดให้ดังข้างต้น เรียงลงมาได้เลยนะคะ โดยที่เซตคำตอบของอสมการนั้นจะอยู่ที่ขั้นตอนที่ 3

เรามาดูตัวอย่างง่ายๆกันก่อนที่จะเริ่มทำแบบฝึกหัดกันดีกว่านะคะ เพื่อที่เพื่อนๆจะได้เห็นแนวทางในการตอบคำถามได้ถูกต้องตรงกันคะ

ตัวอย่างที่ 1 จงแก้อสมการ $3x^2-6x-4 \le 0$
วิธีทำ นำ $\frac{1}{3}$ คูณอสมการที่กำหนดให้
$\displaystyle{x^2-2x-\frac{4}{3} \le 0}$
$\displaystyle{(x^2-2x+1) -\frac{4}{3} - 1 \le 0}$
$\displaystyle{(x-1)^2-\frac{7}{3} \le 0}$
ดังนั้น $\displaystyle{ - \frac{7}{3} \le x-1 \le \frac{7}{3}}$
$\displaystyle{1-\frac{7}{3} \le x \le 1 +\frac{7}{3}}$
เพราะฉะนั้น เซตคำตอบของอสมการที่ได้จะเท่ากับ $\displaystyle{(1-\frac{7}{3}, 1+\frac{7}{3})}$

ในกรณีที่สัมประสิทธิ์ด้านหน้าของ x^2

ไม่เท่ากับ 1 ให้ทำให้เป็น 1 เสียก่อน

แบบฝึกหัด 7

จงแก้อสมการดังต่อไปนี้

1. $x^2-10x+25 \ge 0$
2. $x^2-18x+81 \ge 0$
3. $x^2-4x-5 \ge 0$
4. $x^2-14x+49 \ge 0$
5. $(2x+1) \ge 9$
6. $x^2+x-42 \ge 0$
7. $x^2+4x+4 \ge 0$
8. $x^2+6x+7 \ge 0$
9. $2x^2+5x+1 \ge 0$
10. $2x^2+4x-1 \ge 0$
11. $3x^2+5x+9 \ge 0$
12. $3x^2+6x-5 \ge 0$

ผู้เขียน: ดร. ภคินี สุวรรณจันทร์

ติดตามเรื่องนี้

เก็บเข้าคอลเล็กชัน

ลำดับตอนที่ #4 : การแก้อสมการ

นิยายที่ผู้อ่านนิยมอ่านต่อ ดูทั้งหมด

อีบุ๊ก ดูทั้งหมด

ความคิดเห็น

คืนค่าการตั้งค่าทั้งหมด

ลำดับตอนที่ #4 : การแก้อสมการ

นิยายที่ผู้อ่านนิยมอ่านต่อ ดูทั้งหมด

อีบุ๊ก ดูทั้งหมด

ความคิดเห็น