ตั้งค่าการอ่าน

ค่าเริ่มต้น

  • เลื่อนอัตโนมัติ
    น่ารู้รอบตัว เรื่องคณิตศาสตร์

    ลำดับตอนที่ #2 : การแก้สมการพหุนามตัวแปรเดียว

    • อัปเดตล่าสุด 13 มิ.ย. 50


     สมการพหุนาม(Polynomial equation) ที่มีตัวแปรเดียว หมายถึง สมการที่อยู่ในรูปของ a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ . . . +a_1x+a_0 = 0 โดยที่ a_n, a_{n-1}, \cdots ,a_1, a_0 เป็นค่าคงตัว x เป็นตัวแปรและ n เป็นจำนวนเต็มบวกหรือศูนย์ แล้วถ้า a_n\neq 0 เราจะเรียกสมการพหุนามนี้ว่าเป็นสมการพหุนามดีกรี(degree) n ตัวอย่างเช่น

    2x+1 = 0 เป็นสมการพหุนามดีกรี 1
    2x^2+3x+1 = 0 เป็นสมการพหุนามดีกรี 2
    3x^3+2x^2-12x-8 = 0 เป็นสมการพหุนามดีกรี 3

    โดยที่นอกจาก การนำคุณสมบัติของระบบจำนวนจริง มาแก้ปัญหาสมการพหุนามดีกรี มากกว่าหรือเท่าหนึ่งแล้ว เราก็สามารถนำวิธีการอื่นมาใช้ได้อีกมากมายหลายวิธี เช่น การใช้สูตรการทำให้อยู่ในรูปกำลังสองสมบูรณ์ การแยกตัวประกอบ ตัวนี้ละคะที่สำคัญมากๆ ในการที่จะนำมาใช้ เราอาจแยกตัวประกอบอย่างง่ายๆ โดยการทำให้อยู่ในรูปผลต่างกำลังสอง ผลบวกของกำลังสาม หรือ ผลต่างของกำลังสามก็ได้คะ โดยอาศัยจากสูตรข้างล่างนี้คะ

    a^2+b^2 = (a+b) (a-b)
    a^3+b^3 = (a+b) (a^2-ab+b^2)
    a^3-b^3 = (a-b) (a2+ab+b2)


    อธิบายอย่างเดียวก็เดี๋ยวจะง่วงกันเสียก่อน ดังนั้นเรามาลองทบทวนวิธีการแก้ปัญหาสมการพหุนามอย่างง่ายๆกันดีกว่านะคะ แต่ก่อนอื่นต้องขอบอกไว้ก่อนว่าวิธีการแยกตัวประกอบมีมากกว่าสามวิธีทางข้างต้นนะคะ รายละเอียดทั้งหมดจะแสดงอยู่ด้านล่างดังนี้คะ

    การแก้สมการดีกรีสูงกว่าสอง โดยการแยกตัวประกอบ
    1. การเอาตัวร่วมออก ax^2+bx-x = x(ax+b-1)
    2. ผลต่างกำลังสอง a^2-b^2 = (a-b) (a+b)
    3. ผลบวกกำลังสาม a^3+b^3 = (a+b) (a^2-ab+b^2)
    4. ผลต่างกำลังสาม a^3-b^3 = (a-b) (a^2+ab+b^2)
    5. กำลังสามของผลบวก (a+b)^3 = (a^3+3a^2b+ab^2+b^3)
    6. กำลังสามของผลต่าง (a-b)^3 = (a^3-3a^2b+ab^2-b^3)
    7. กำลังสองสมบูรณ์ (a+b)^2 = (a^2+2ab+b^2)
    8. การแยก สามพจน์เป็นสองวงเล็บ
    9. การแยกตัวประกอบโดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ

    แบบฝึกหัด 3

    จงแยกตัวประกอบพหุนามต่อไปนี้
    1. 6x-10x^2
    2. 2x^2+15x+7
    3. x^2+16x+61
    4. 9x^2-16
    5. x^3-8
    6. x^3+5x^2-7x
    7. 36-y^2
    8. x^2-5x-14
    9. x^2-11x+30
    10. 27+64y^3


    จากเนื้อหาดังข้างต้น เราจะพบได้ว่า วิธีการอย่างหนึ่งที่กันอย่างมากในเรื่องของการแก้อสมการ นั้นก็คือ การแยกตัวประกอบ ซึ่งการแยกตัวประกอบจะง่ายหรือยากนั้นขึ้นอยู่กับ พหุนามที่กำหนดให้ และทฤษฎีบทที่มีประโยชน์มากในเรื่องของการแยกตัวประกอบ นั้นก็คือ ทฤษฎีบทเศษเหลือ ซึ่งเราจะกล่าวถึงต่อไป

    การหารสังเคราะห์ (Synthetic division)

    การหารสังเคราะห์ เป็นเรื่องที่ว่าด้วยการหารพหุนาม ที่มีดีกรีมากกว่าหรือเท่ากับ 1 ด้วยพหุนามที่อยู่ในรูป x-a เมื่อ a\neq 0 เช่น 2x^3-x^2-8x+15 =?

    วิธีการหาคำตอบ เราอาจใช้การหารยาว ซึ่งจะเสียเวลาและใช้เนื้อที่ในการเขียนมาก ดังนั้นการหารสังเคราะห์ เป็นวิธีลัดในการหาผลหาร และเศษจากการหาร จากตัวอย่างโจทย์ข้างต้น เราสามารถแสดงให้อยู่ในรูปของการหารสังเคราะห์ได้ดังนี้

    2 -1 -8 15
    แถวที่ 1
    -4 -6  4
    แถวที่ 2
    2  3 -2 11
    แถวที่ 3


    ดังนั้น เราจึงสามารถสรุปขั้นตอนสำหรับการหารสังเคราะห์ได้ดังนี้

    สมมุติให้ P(x) เป็นพหุนามที่มีดีกรีมากกว่าหรือเท่ากับ 1 ถ้าต้องการหาร P(x) ด้วย x-c เมื่อ c\neq 0 ด้วยวิธีการหารสังเคราะห์ จะมีวิธีการดังนี้

    1. เขียนสัมประสิทธิ์ของพจน์ต่างๆ ของ P(x) เมื่อเรียงดีกรีจากมากไปน้อยแล้ว ถ้าบางพจน์ไม่มีให้ถือ สัมประสิทธิ์นั้นเป็น 0
    2. เขียน c เป็นตัวหาร
    3. จำนวนแรกในแถวสาม จะเท่ากับจำนวนแรกในแถวหนึ่ง
    4. นำ c ไปคูณกับจำนวนแรกของแถว 3 นำผลคูณไปใส่ในตำแหน่งที่สองของแถวสอง
    5. บวกจำนวนในแถวที่หนึ่งและแถวที่สองในตำแหน่งที่สอง นำผลบวกใส่ในตำแหน่งเดียวกันของแถวที่สาม
    6. นำ c คูณกับจำนวนใดตำแหน่งที่สองของแถวที่ สาม นำผลคูณไปใส่ในตำแหน่งที่สามของแถวที่สอง
    7. บวกจำนวนในแถวที่หนึ่ง และแถวที่สองในตำแหน่งที่สาม นำผลไปใส่ในตำแหน่งเดียวกัน ของแถว ที่สามทำเช่นนี้ไปเรื่อยๆจนหมดทุกตำแหน่ง จะได้ว่า

    * จำนวนทุกจำนวนในแถวที่สาม(ยกเว้นจำนวนสุดท้าย) เป็นสัมประสิทธิ์ของผลหาร ซึ่งเป็นพหุนามที่มีดีกรีน้อยกว่า P(x) อยู่ 1
    ** จำนวนสุดท้ายในแถวที่สามเป็นเศษจากการหาร
    *** ถ้าเศษเป็น 0 จะเรียกตัวหาร x-c ว่าตัวประกอบ P(x)

    แบบฝึกหัด 4

    จงใช้วิธีการหารสังเคราะห์เพื่อหาคำตอบจากคำถามต่อไปนี้

    1. \displaystyle{\frac{x^3+x^2-18x+18}{(x-3)}}
    2. \displaystyle{\frac{2x^2+9x-5}{(x+2)}}
    3. \displaystyle{\frac{3x^3+13x^2-11x+5}{(x+3)}}
    4. \displaystyle{\frac{x^3-x^2+2x+7}{(x+2)}}
    5. \displaystyle{\frac{-2x^3-5x^2+7}{(x+3)}}
    6. \displaystyle{\frac{5x^3-11x^2-14x-10}{(x-3)}}
    7. \displaystyle{\frac{3x^4 - 2 x^3+x^2-x+7}{(x-2)}}
    8. \displaystyle{\frac{x^2+5x+6}{(x+2)}}
    9. \displaystyle{\frac{x^2+4x+7}{(x+3)}}







    ติดตามเรื่องนี้
    เก็บเข้าคอลเล็กชัน

    ผู้อ่านนิยมอ่านต่อ ดูทั้งหมด

    loading
    กำลังโหลด...

    อีบุ๊ก ดูทั้งหมด

    loading
    กำลังโหลด...

    ความคิดเห็น

    ×