นิยาย น่ารู้รอบตัว เรื่องคณิตศาสตร์ > ลำดับตอนที่ #2 : การแก้สมการพหุนามตัวแปรเดียว : Dek-D.com

ลำดับตอนที่ #2

ลำดับตอนที่ #2 : การแก้สมการพหุนามตัวแปรเดียว

อัปเดตล่าสุด 13 มิ.ย. 50

สมการพหุนาม(Polynomial equation) ที่มีตัวแปรเดียว หมายถึง สมการที่อยู่ในรูปของ $a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ . . . +a_1x+a_0 = 0$ โดยที่ $a_n, a_{n-1}, \cdots ,a_1, a_0$ เป็นค่าคงตัว

เป็นตัวแปรและ

เป็นจำนวนเต็มบวกหรือศูนย์ แล้วถ้า $a_n\neq 0$ เราจะเรียกสมการพหุนามนี้ว่าเป็นสมการพหุนามดีกรี(degree)

ตัวอย่างเช่น

2x+1 = 0

เป็นสมการพหุนามดีกรี 1
2x^2+3x+1 = 0

เป็นสมการพหุนามดีกรี 2
3x^3+2x^2-12x-8 = 0

เป็นสมการพหุนามดีกรี 3

โดยที่นอกจาก การนำคุณสมบัติของระบบจำนวนจริง มาแก้ปัญหาสมการพหุนามดีกรี มากกว่าหรือเท่าหนึ่งแล้ว เราก็สามารถนำวิธีการอื่นมาใช้ได้อีกมากมายหลายวิธี เช่น การใช้สูตรการทำให้อยู่ในรูปกำลังสองสมบูรณ์ การแยกตัวประกอบ ตัวนี้ละคะที่สำคัญมากๆ ในการที่จะนำมาใช้ เราอาจแยกตัวประกอบอย่างง่ายๆ โดยการทำให้อยู่ในรูปผลต่างกำลังสอง ผลบวกของกำลังสาม หรือ ผลต่างของกำลังสามก็ได้คะ โดยอาศัยจากสูตรข้างล่างนี้คะ

อธิบายอย่างเดียวก็เดี๋ยวจะง่วงกันเสียก่อน ดังนั้นเรามาลองทบทวนวิธีการแก้ปัญหาสมการพหุนามอย่างง่ายๆกันดีกว่านะคะ แต่ก่อนอื่นต้องขอบอกไว้ก่อนว่าวิธีการแยกตัวประกอบมีมากกว่าสามวิธีทางข้างต้นนะคะ รายละเอียดทั้งหมดจะแสดงอยู่ด้านล่างดังนี้คะ

การแก้สมการดีกรีสูงกว่าสอง โดยการแยกตัวประกอบ
1. การเอาตัวร่วมออก ax^2+bx-x = x(ax+b-1)

2. ผลต่างกำลังสอง a^2-b^2 = (a-b) (a+b)

3. ผลบวกกำลังสาม a^3+b^3 = (a+b) (a^2-ab+b^2)

4. ผลต่างกำลังสาม a^3-b^3 = (a-b) (a^2+ab+b^2)

5. กำลังสามของผลบวก (a+b)^3 = (a^3+3a^2b+ab^2+b^3)

6. กำลังสามของผลต่าง (a-b)^3 = (a^3-3a^2b+ab^2-b^3)

7. กำลังสองสมบูรณ์ (a+b)^2 = (a^2+2ab+b^2)

8. การแยก สามพจน์เป็นสองวงเล็บ
9. การแยกตัวประกอบโดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ

แบบฝึกหัด 3

จงแยกตัวประกอบพหุนามต่อไปนี้
1. 6x-10x^2

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

จากเนื้อหาดังข้างต้น เราจะพบได้ว่า วิธีการอย่างหนึ่งที่กันอย่างมากในเรื่องของการแก้อสมการ นั้นก็คือ การแยกตัวประกอบ ซึ่งการแยกตัวประกอบจะง่ายหรือยากนั้นขึ้นอยู่กับ พหุนามที่กำหนดให้ และทฤษฎีบทที่มีประโยชน์มากในเรื่องของการแยกตัวประกอบ นั้นก็คือ ทฤษฎีบทเศษเหลือ ซึ่งเราจะกล่าวถึงต่อไป

การหารสังเคราะห์ (Synthetic division)

การหารสังเคราะห์ เป็นเรื่องที่ว่าด้วยการหารพหุนาม ที่มีดีกรีมากกว่าหรือเท่ากับ 1 ด้วยพหุนามที่อยู่ในรูป x-a

เมื่อ $a\neq 0$ เช่น 2x^3-x^2-8x+15 =?

วิธีการหาคำตอบ เราอาจใช้การหารยาว ซึ่งจะเสียเวลาและใช้เนื้อที่ในการเขียนมาก ดังนั้นการหารสังเคราะห์ เป็นวิธีลัดในการหาผลหาร และเศษจากการหาร จากตัวอย่างโจทย์ข้างต้น เราสามารถแสดงให้อยู่ในรูปของการหารสังเคราะห์ได้ดังนี้

2 -1 -8 15	แถวที่ 1
-4 -6 4	แถวที่ 2
2 3 -2 11	แถวที่ 3

ดังนั้น เราจึงสามารถสรุปขั้นตอนสำหรับการหารสังเคราะห์ได้ดังนี้

สมมุติให้ P(x)

เป็นพหุนามที่มีดีกรีมากกว่าหรือเท่ากับ 1 ถ้าต้องการหาร P(x)

ด้วย

เมื่อ $c\neq 0$ ด้วยวิธีการหารสังเคราะห์ จะมีวิธีการดังนี้

1. เขียนสัมประสิทธิ์ของพจน์ต่างๆ ของ P(x)

เมื่อเรียงดีกรีจากมากไปน้อยแล้ว ถ้าบางพจน์ไม่มีให้ถือ สัมประสิทธิ์นั้นเป็น 0
2. เขียน

เป็นตัวหาร
3. จำนวนแรกในแถวสาม จะเท่ากับจำนวนแรกในแถวหนึ่ง
4. นำ

ไปคูณกับจำนวนแรกของแถว 3 นำผลคูณไปใส่ในตำแหน่งที่สองของแถวสอง
5. บวกจำนวนในแถวที่หนึ่งและแถวที่สองในตำแหน่งที่สอง นำผลบวกใส่ในตำแหน่งเดียวกันของแถวที่สาม
6. นำ

คูณกับจำนวนใดตำแหน่งที่สองของแถวที่ สาม นำผลคูณไปใส่ในตำแหน่งที่สามของแถวที่สอง
7. บวกจำนวนในแถวที่หนึ่ง และแถวที่สองในตำแหน่งที่สาม นำผลไปใส่ในตำแหน่งเดียวกัน ของแถว ที่สามทำเช่นนี้ไปเรื่อยๆจนหมดทุกตำแหน่ง จะได้ว่า

* จำนวนทุกจำนวนในแถวที่สาม(ยกเว้นจำนวนสุดท้าย) เป็นสัมประสิทธิ์ของผลหาร ซึ่งเป็นพหุนามที่มีดีกรีน้อยกว่า P(x) อยู่ 1
** จำนวนสุดท้ายในแถวที่สามเป็นเศษจากการหาร
*** ถ้าเศษเป็น 0 จะเรียกตัวหาร x-c ว่าตัวประกอบ P(x)

แบบฝึกหัด 4

จงใช้วิธีการหารสังเคราะห์เพื่อหาคำตอบจากคำถามต่อไปนี้

1. $\displaystyle{\frac{x^3+x^2-18x+18}{(x-3)}}$
2. $\displaystyle{\frac{2x^2+9x-5}{(x+2)}}$
3. $\displaystyle{\frac{3x^3+13x^2-11x+5}{(x+3)}}$
4. $\displaystyle{\frac{x^3-x^2+2x+7}{(x+2)}}$
5. $\displaystyle{\frac{-2x^3-5x^2+7}{(x+3)}}$
6. $\displaystyle{\frac{5x^3-11x^2-14x-10}{(x-3)}}$
7. $\displaystyle{\frac{3x^4 - 2 x^3+x^2-x+7}{(x-2)}}$
8. $\displaystyle{\frac{x^2+5x+6}{(x+2)}}$
9. $\displaystyle{\frac{x^2+4x+7}{(x+3)}}$

ผู้เขียน: ดร. ภคินี สุวรรณจันทร์

ติดตามเรื่องนี้

เก็บเข้าคอลเล็กชัน

ลำดับตอนที่ #2 : การแก้สมการพหุนามตัวแปรเดียว

ลำนำวารี

ผู้อ่านนิยมอ่านต่อ ดูทั้งหมด

อีบุ๊ก ดูทั้งหมด

ความคิดเห็น

ความคิดเห็น

คืนค่าการตั้งค่าทั้งหมด

ลำดับตอนที่ #2 : การแก้สมการพหุนามตัวแปรเดียว

ลำนำวารี

ผู้อ่านนิยมอ่านต่อ ดูทั้งหมด

อีบุ๊ก ดูทั้งหมด

ความคิดเห็น

ความคิดเห็น