ตั้งค่าการอ่าน

ค่าเริ่มต้น

  • เลื่อนอัตโนมัติ
    น่ารู้รอบตัว เรื่องคณิตศาสตร์

    ลำดับตอนที่ #14 : ผลคูณคาร์ทีเซียน

    • อัปเดตล่าสุด 25 มิ.ย. 50


    อย่างที่เกริ่นเอาไว้แล้วนะคะว่า ถ้าเราให้ A=\{a,b\} และ B=\{1,2,3\} (คือเซต A และ เซต B) เราสามารถที่จะหาคู่อันดับได้โดยกำหนดให้สมาชิกตัวแรกของคู่อันดับเป็นสมาชิกของ A และสมาชิกตัวที่สองของคู่อันดับเป็นสมาชิกของ B เรียกเซตของคู่อันดับทั้งหมดที่สร้างขึ้นด้วยวิธีนี้ว่า ผลคูณคาร์ทีเซียน ของ A และ ของ B เขียนแทนด้วย A\times Bนั่นคือ A\times B=\{(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3)\}


    นิยาม ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต A และเซต B คือเซตของคู่อันดับ (x,y)ทั้งหมด โดยที่ x เป็นสมาชิกของ A และ y เป็นสมาชิกของ B และเราสามารถเขียน A\times B โดยวิธีการกำหนดเงื่อนไขของสมาชิกได้ดังนี้ A\times B=\{(x,y)|x\in Aและ y\in B\}


    เรารู้แต่ A\times B ดังนั้น เราจะลองสลับมาเป็น B\times A บ้าง สังเกตดูนะคะว่า คำตอบที่ได้จะเปลี่ยนแปลงไปอย่างไร

    B\times A=\{(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)\}

    A\times A=\{(a,a),(a,b),(b,a),(b,b)\}

    แต่ถ้า A=\{a,b\} และ B={\O} เราจะได้ว่า A\times B={\O}และ B\times A={\O}

    95201. สำหรับเซต A ใดๆ A\times {\O}={\O}\times A={\O}
    2. สำหรับเซต A และ เซต B ใดๆ A\times B\neq B\times A ยกเว้น A=B หรือ A\neq {\O} หรือ B\neq {\O}
    3. ถ้า A และ B เป็นเซตจำกัดจะได้ n(A\times B)=n(A)\times n(B)


    ทีนี้ พวกเราก็คงทราบแล้วนะคะว่า การสร้างคู่อันดับขึ้นเองไม่ใช่เรื่องที่ยากเลยใช่ไหมคะ ดังนั้น ตอนนี้ เรามาดูสมบัติอย่างง่ายๆของผลคูณคาร์ทีเซียนกันบ้างคะ

    สมบัติของผลคูณคาร์ทีเซียน

    ให้ A, B และ C เป็นเซตใดๆ จะได้ว่า
    1. A\times B={\O} ก็ต่อเมื่อ A\neq {\O} หรือ B\neq {\O}
    2. โดยทั่วไป A\times B\neq B\times A แต่ A\times B=B\times A ก็ต่อเมื่อ A=B หรือ A={\O} หรือ B={\O}
    3. ถ้า A\times B=A\times Cและ A\neq {\O} แล้ว B=C
    4. A เป็นเซตจำกัดซึ่ง A\neq {\O} และ B เป็นเซตอนันต์แล้ว A\times B และ B\times Aเป็นเซตอนันต์
    5. A และ B เป็นเซตอนันต์แล้ว A\times B และ B\times A เป็นเซตอนันต์
    6. ถ้า A\subset Bแล้ว A\times C\subset B\times C
    7. เมื่อ A และ B เป็นเซตจำกัด n(A\times B)=n(B\times A)=n(A)\times n(B)
    8. ถ้า A\subset B แล้ว C\subset Dแล้ว A\times C\subset B\times D
    9. ถ้า A\neq {\O} และ A\times B\subset A\times C
    แล้ว B\subset C
    10. A\times (B\cup C)=(A\times B)\cup (A\times C)
    11. A\times (B\cap C)=(A\times B)\cap (A\times C)
    12. A\times (B-C)=(A\times B)-(A\times C)
    13. (A-B)\times C=(A\times C)-(B\times C)
    14. (A\times B)\cap (B\times A)=(A\cap B)\times (A\cap B)

    9329เมื่อ A, B, C เป็นเซตจำกัด และ ไม่เป็นเซตว่าง
    1. A\cap (B\times C)\neq (A\cap B)\times (A\cap C)
    2. A\cup (B\times C)\neq (A\cup B)\times (A\cup C)
    3. (A\times B)-C\neq (A-C)\times (B-C)


    แบบฝึกหัด 2

    1. A=\{0,3\},B=\{0,5\} จงหา A\times A,A\times B,B\times A,B\times B
    2. จาก A=\{1,2\},B={\O},C=\{{\O}\}จงหา A\times B,A\times C,B\tims C,C\times C
    3. ถ้า A=\{(0,1),(1,3),\},B=\{a\} จงหา A\times A,A\times B,B\times B
    4. กำหนด A=\{a\},B=\{b\},C={\O} จงหา P(A)\times P(B),P(A)\times P(A),P(A)\times P(C) และ P(C)\times P(C)
    5. กำหนด A=\{1,2,3,4\},B=\{-3,-1,0,1,3\}และ C=\{3,-,0\} จงหา
    5.1) n[A\times (B\cup C)]
    5.2) n[(A\cup B)\times C]
    5.3) n[(A\times B)\cup C]
    5.4) n[(A\cap B)\times C]



    ผู้เขียน: ดร. ภคินี สุวรรณจันทร์

    ติดตามเรื่องนี้
    เก็บเข้าคอลเล็กชัน

    ผู้อ่านนิยมอ่านต่อ ดูทั้งหมด

    loading
    กำลังโหลด...

    อีบุ๊ก ดูทั้งหมด

    loading
    กำลังโหลด...

    ความคิดเห็น

    ×