น่ารู้รอบตัว เรื่องคณิตศาสตร์

ลำดับตอนที่ #20 : ตัวเลขของ ออยเลอร์

ประเทศสวิส สร้าง โรเจอร์ เฟดเดอร์เรอร์ ให้วงการเทนนิส ทางวงการคณิตฯ ก็มี ลีออนฮาร์ด ออยเลอร์ (Leonhard Euler) ที่บางตำรายกย่องท่านว่าเป็นผู้ผลิตผลงานคณิตศาสตร์มากที่สุดตลอดกาล

ภาพประกอบ ลีออนฮาร์ด ออยเลอร์

ท่านเป็นคนที่ตั้งชื่อตัวเลขนี้ว่า e และติดตลาดถึงทุกวันนี้ บางคนเข้าใจว่า
e ตั้งมาจากชื่อ ออยเลอร์ (Euler) ของท่าน แต่เปล่าครับ ! ท่านตั้งชื่อโดยไม่ได้คิดว่ามันจะมาโด่งดังอะไร
และท่านเป็นคนสบาย สบาย อิ่มตัวกับชื่อเสียงพอแล้ว ว่ากันว่า ท่านต้องการใช้สระอักษรโรมันแทนค่าคงตัวนี้
แต่ท่านใช้ตัว a แทนค่าอื่นไปแล้ว ก็เลยถึงทีที่ต้องใช้ตัว e บ้าง จะเป็นโชค
หรือฟ้ากำหนดก็ได้ เพราะถ้าเห็นตัว e แล้วนึกถึงคำว่า ออยเลอร์ ก็เหมาะสมด้วยประการทั้งปวง
เพราะออยเลอร์เป็นคนแรกก็ว่าได้ ที่ทำให้คนเห็นความสำคัญของตัวเลขนี้ นักคณิตศาสตร์รุ่นหลังจึงเรียกชื่อเต็มยศของค่า
e นี้ว่า ตัวเลขของออยเลอร์ (Euler Number หรือ Eulerian Number)



ผมจาระไนผลงานทั้งหมดของท่านออยเลอร์คงไม่ได้ ขอยกที่เป็นเสาหลัก ดังต่อไปนี้ ท่านได้แสดงความสมการ

โดยที่ n! = n x (n-1) x (n-2) x (n-3) x ... x 2 x 1 ยกตัวอย่างเช่น 5! = 5
x 4 x 3 x 2 x 1 หลักฐานชั้นหลังบ่งว่านิวตันศึกษาอนุกรมนี้ก่อน แต่เป็นออยเลอร์ที่ชี้ความสัมพันธ์กับค่า
e ออยเลอร์ ได้ฝากค่า e สู่อ้อมอก อ้อมใจ ของคณิตวิเคราะห์ (mathematical
analysis) โดยโยงใย e กับระบบจำนวนเชิงซ้อนด้วยสมการข้างล่างนี้

e^xi = cos(x) + i sin(x)

ถ้าแทนค่า ด้วย ลงไปบนสมการข้างบน จัดรูปอีกนิด จะได้สิ่งที่เรียกว่า สมการของออยเลอร์

e^¶i + 1 = 0

เคยมีการโหวตโดยนักวิทยาศาสตร์ว่าสมการไหนสวยที่สุด สมการของออยเลอร์ ติดอันดับต้น ๆ หรือ ขวัญใจช่างภาพ (อันหลังนี้ ไม่มีจริงนะครับ) แทบทุกครั้งไป
ตัวเลข และ เป็นดาวดังแห่งวงการตัวเลข ถ้าเปรียบก็เหนือกว่า ซีดาน ฟิโก้ โรนัลโด้ เบ็กแคม และโอเว่น เสียอีก เพราะเลขพวกนี้ฟอร์มเข้าที่ ไม่มีตก ยกพวกมาอยู่ทีมหรือสมการเดียวกันอย่างงดงามแบบนี้ คนชอบเลขตื่นตาตื่นใจยิ่งกว่าเห็นทีม เรียล แมดริด เสียอีก
ออยเลอร์ยังศึกษาค่า e กับเศษส่วนต่อเนื่องและประโยชน์ใช้สอยอื่น ๆ อีกมากมาย สมควรแล้วที่เมื่อเห็นค่า e แล้วจะรำลึกคุณงามความดีของท่าน

ผู้เขียน: ดร. กิตติกร นาคประสิทธิ์