พาราโบลา

ข้อมูลเบื้องต้นของเรื่องนี้

  พาราโบลา  คือ เซตของจุดทุกจุดบนระนาบ ซึ่งในเซตดังกล่างจะอยู่ห่างจากจุดคงที่จุดหนึ่งเท่ากับอยู่ห่างจากเส้นคงที่เส้นหนึ่งเสมอ

จุดคงที่เรียกว่าจุด โฟกัส

เส้นคงที่เรียกว่า ไดเรกทริกซ์

เส้นที่ลากผ่านโฟกัสและตั้งฉากกับไดเรกทริกซ์ เรียกว่า แกนของพาราโบลา

จุดที่เกิดจากพาราโบลาตัดกับแกนของพาราโบลา เรียกว่า จุดยอด

Music Playlist at MixPod.com

<

เนื้อเรื่อง

พาราโบลา  คือ เซตของจุดทุกจุดบนระนาบ ซึ่งในเซตดังกล่างจะอยู่ห่างจากจุดคงที่จุดหนึ่งเท่ากับอยู่ห่างจากเส้นคงที่เส้นหนึ่งเสมอ

จุดคงที่เรียกว่าจุด โฟกัส

เส้นคงที่เรียกว่า ไดเรกทริกซ์

เส้นที่ลากผ่านโฟกัสและตั้งฉากกับไดเรกทริกซ์ เรียกว่า แกนของพาราโบลา

จุดที่เกิดจากพาราโบลาตัดกับแกนของพาราโบลา เรียกว่า จุดยอด

1) พาราโบลาที่มีแกนวางตัวในทิศของแกน y (กราฟหงาย, คว่ำ)

พิจารณารูปต่อไปนี้

 

จากรูปจะได้ว่า

- สมการพาราโบลาที่มีจุดยอดที่ V(h, k) คือ  
    
  ดังนั้นถ้าจุดยอดอยู่ตรงจุดกำเนิดจะได้สมการเป็น  

- ระยะห่างระหว่างจุดยอดไปถึงจุดโฟกัส (F) เท่ากับ c (พิกัดของ F ในรูปนี้จึงเป็น F(h, k+c))  
  ซึ่งระยะทางนี้จะเท่ากับระยะห่างระหว่างจุดยอดกับเส้นไดเร็คทริกซ์

- เลตัสเรกตัม (Latus rectum) หรือเส้นที่แสดงความกว้างของพาราโบลา ณ จุดโฟกัส มีความยาวเท่ากับ |4c|

- สำหรับค่า c ถ้าเป็นบวกกราฟจะหงายขึ้น ถ้าเป็นลบกราฟจะคว่ำลง

- กราฟวางตัวไปในแนวของตัวแปรที่มีกำลังเป็นหนึ่ง ในกรณีคือ y ดังนั้นจึงได้กราฟในทิศทางของแกน y

2) พาราโบลาที่มีแกนวางตัวในทิศของแกน x (กราฟตะแคงขวา, ซ้าย)

 ลองมาดูอีกรูปหนึ่งนะครับ

 
 

จากรูปนี้ จะได้ว่า

- สมการพาราโบลาที่มีจุดยอดอยู่ที่ V(h, k) คือ   

  ดังนั้นถ้าจุดยอดอยู่ที่จุดกำเนิด จะได้สมการเป็น  
- ระยะห่างระหว่างจุดยอดไปถึงจุดโฟกัส (F) เท่ากับ c ดังนั้นเราจึงสามารถหาพิกัดของ F ในรูปนี้ได้เป็น 
  F(h+c, k)

- เลตัสเรกตัม มีความยาวเท่ากับ |4c|

- สำหรับค่า c ถ้าเป็นบวกกราฟจะตะแคงขวา ถ้าเป็นลบกราฟจะตะแคงซ้าย

- ในกรณีนี้ สมการพาราโบลามีตัวแปร x กำลังเป็นหนึ่ง ดังนั้นจึงได้กราฟวางตัวในทิศทางของแกน x

จุดยอด (0, 0)
X2 = 4cy		Y2 = 4cx
c > 0 หงาย	c < 0 คว่ำ	c > 0 เปิดด้านขวา	c < 0 เปิดด้านซ้าย
1. จุดโฟกัส ( 0 , c )		( c , 0 )
2. แกน พาราโบรา x = 0 ( แกน y )		y = 0 ( แกน x )
3. สมการไดเรกตริกซ์ y = - c.		x = - c
4. เลตัสเรกตัม = | 4c |		| 4c |
จุดยอด (h, k)
(x - h)2  = 4c (y - k)		(y - k)2 = 4c (x - h)
c > 0 หงาย	c < 0 คว่ำ	c > 0 เปิดด้านขวา	c < 0 เปิดด้านซ้าย
1. จุดโฟกัส ( h , k + c )		( h + c , k )
2. แกน พาราโบรา x = h		y = k
3. สมการไดเรกตริกซ์ y = k - c.		x = h - c
4. เลตัสเรกตัม = | 4c |		| 4c |
รูปสมการทั่วไป
1) x2 + Ax + By + c = 0 , B 0 เป็นพาราโบรา หงาย หรือ คว่ำ
2) y2 + Ay + Bx + c = 0 , B 0 เป็นพาราโบรา เปิดด้านขวา หรือเปิดด้านซ้าย
Note 1. B = -4c  2. B < 0 ก็ต่อเมื่อ c > 0 ( พาราโบรา หรือ เปิดด้านขวา), B > 0 ก็ต่อเมื่อ c < 0 (พาราโบรา คว่ำ หรือ เปิดด้านซ้าย)  3. | B | = | - 4c | = | 4c | = ความยาวเลตัสเรกตัม