[ NotebooK ] บันทึกการเรียน

ลำดับตอนที่ #7 : สถิติ

http://www.thaigoodview.com/library/teachershow/bangkok/pisamorn_s/index.html

http://www.school.net.th/library/snet2/knowledge_math/stat/stat.htm

 สถิติเบื้องต้น

   ข้อมูลสถิติหรือข้อมูล  หมายถึง  ข้อเท็จจริงของเรื่องใดเรื่องหนึ่งที่เราสนใจจะศึกษา  ซึ่งอาจจะเป็นตัวเลขหรือข้อความก็ได้
- จำนวนคนที่เป็นโรคหัวใจในแต่ละเดือน
- ปริมาณการส่งออกข้าวของประเทศไทยในปีนี้เพิ่มขึ้นจากปีที่แล้ว

    การจำแนกข้อมูล
1.  ข้อมูลที่จำแนกตามลักษณะของข้อมูล  แบ่งเป็น  2  ประเภท
1.1  ข้อมูลเชิงปริมาณ  คือข้อมูลที่ใช้แทนขนาดหรือปริมาณวัดออกมาเป็นค่าตัวเลขที่สามารถนำมาใช้เปรียบเทียบขนาดได้โดยตรง
1.2  ข้อมูลเชิงคุณภาพ  คือข้อมูลที่ไม่สามารถวัดออกมาเป็นค่าตัวเลขโดยตรงได้  แต่วัดออกมาในเชิงคุณภาพได้  เช่น  เพศของสมาชิกในครอบครัว  ซึ่งการวิเคราะห์ข้อมูลประเภทนี้  ส่วนใหญ่ทำโดยการนับจำนวนจำแนกตามลักษณะเชิงคุณภาพ
2.  ข้อมูลจำแนกตามวิธีการเก็บรวบรวม
2.1  ข้อมูลปฐมภูมิ  คือ  ข้อมูลที่ได้จากการรวบรวมจากผู้ที่ให้ข้อมูลหรือแหล่งที่มาโดยตรง
2.1.1  การสำมะโน  คือ  การเก็บรวบรวมข้อมูลจากทุกหน่วยของประชากรที่ต้องการศึกษา
2.1.2  การสำรวจจากกลุ่มตัวอย่าง  คือ  การเก็บรวบรวมข้อมูลที่ประกอบด้วยตัวแทนจากทุกลักษณะของประชากรที่ต้องการศึกษา
   ในทางปฏิบัติ  ไม่ว่าจะทำการสำมะโนหรือการสำรวจ  นิยมปฏิบัติอยู่  5  วิธี  คือ
   1.  การสัมภาษณ์  นิยมใช้กันมาก  เพราะจะได้คำตอบทันที  นอกจากนี้หากผู้ตอบไม่เข้าใจก็สามารถอธิบายเพิ่มเติมได้  แต่ผู้สัมภาษณ์ต้องซื่อสัตย์  และเข้าใจจุดมุ่งหมายของการเก็บข้อมูลอย่างแท้จริง
   2.  การแจกแบบสอบถาม  วิธีนี้ประหยัดเวลาและค่าใช้จ่ายมาก  สะดวกและสบายใจต่อการตอบแบบสอบถาม  แต่ก็มีข้อเสียหลายประการ  เช่น  ต้องใช้ในเฉพาะผที่มีการศึกษา  มีไปรษณีย์ไปถึง  คำถามต้องชัดเจน  อาจจะไม่ได้รับคืนตามเวลาหรือจำนวนที่ต้องการ  จึงต้องส่งแบบสอบถามออกไปเป็นจำนวนมากๆ  หรือไปแจกและเก็บด้วยตนเอง
   3.การสอบถามทางโทรศัพท์  เป็นวิธีที่ง่าย  เสียค่าใช้จ่ายน้อย  ต้องเป็นการสัมภาษณ์อย่างสั้นๆ  ตอบได้ทันทีโดยไม่ต้องเสียเวลาค้นหาหลักฐาน  ใช้ได้เฉพาะส่วนที่มีโทรศัพท์เท่านั้น
   4.  การสังเกต  เป็นข้อมูลที่ได้จากการสังเกตแล้วบันทึกสิ่งที่เราสนใจเอาไว้  ต้องใช้การสังเกตเป็นช่วงๆของเวลาอย่างต่อเนื่องกัน  ข้อมูลจะน่าเชื่อถือได้มากน้อยขึ้นอยู่กับความเข้าใจและความชำนาญของผู้สังเกต  เช่น  ข้อมูลเกี่ยวกับการใช้บริการต่างๆ  เช่น  บริการรถโดยสาร  การบริการสหกรณ์  ความหนาแน่นของการใช้ถนนสายต่างๆ  เป็นต้น  วิธีนี้นิยมใช้ประกอบกับการเก็บข้อมูลวิธีอื่นๆ
   5.  การทดลอง  เป็นการเก็บรวบรวมข้อมูลที่มีการทดลอง  ซึ่งมักจะใช้เวลาในการทดลองนานๆ  ทำซ้ำๆ
2.2  ข้อมูลทุติยภูมิ  คือ  ข้อมูลที่ต้องเก็บรวบรวมจากผู้ที่ให้ข้อมูล  หรคือแหล่งที่มาโดยตรง  แต่ได้จากข้อมูลที่มีผู้อื่นเก็บรวบรวมไว้แล้ว
3.  วิธีการเก็บรวบรวมข้อมูลทุติยภูมิ
  แหล่งที่มาของข้อมูลทุติยภูมิที่สำคัญมีอยู่  2  แหล่ง  คือ
1.  รายงานต่างๆของหน่วยราชการและองค์การของรัฐบาล เช่น  ทะเบียนประวัติบุคลากร  ประวัติคนไข้  ทะเบียนนักเรียนนักศึกษา  เป็นต้น
2.  รายงานและบทความจากหนังสือ  หรือรายงานจากหน่วยงานเอกชน  ซึ่งจะมีการพิมพ์เผยแพร่เฉพาะในส่วนของข้อมูลที่เผยแพร่ได้ในรูปของรายงานต่างๆ

 การวิเคราะห์ข้อมูลเบื้องต้น  

  ความหมายของคำต่างๆที่จะช่วยให้เข้าใจวิธีการทางสถิติมากขึ้น  มีดังนี้
    กลุ่มประชากร  หมายถึง  กลุ่มที่มีลักษณะที่เราสนใจ  หรือกลุ่มที่เราต้องการจะศึกษาหาข้อมูลที่เกี่ยวข้อง  เปรียบเหมือนเอกภพสัมพัทธ์ในเรื่องเซต
    กลุ่มตัวอย่าง  หมายถึง  ส่วนหนึ่งของกลุ่มประชากรที่เราสนใจ  ในกรณีที่กลุ่มประชากรที่จะศึกษานั้นเป็นกลุ่มขนาดใหญ่  เกินความสามารถหรือความจำเป็นที่ต้องการ  หรือเพื่อประหยัดในด้านงบประมาณและเวลา  สามารถศึกษาข้อมูลเพียงบางส่วนของกลุ่มประชากรได้
   ค่าพารามิเตอร์  หมายถึง  ค่าต่างๆที่คำนวณมาจากกลุ่มประชากร  จะถือเป็นค่าคงตัว  กล่าวคือ  คำนวณกี่ครั้งๆก็จะไม่เปลี่ยนแปลง
   ค่าสถิติ  หมายถึง  ค่าต่างๆที่คำนวณมาจากกลุ่มตัวอย่าง  จะเป็นค่าที่เปลี่ยนแปลงได้ตจามกลุ่มตัวอย่างที่เลือกสุ่มมา  จึงถือว่าเป็นค่าตัวแปรสุ่ม
   ตัวแปร  ในทางสถิติ  หมายถึง  ลักษณะบางอย่างที่เราสนใจ  ค่าของตัวแปร  อาจอยู่ในรูปข้อความ  หรือตัวเลขก็ได้
   ค่าที่เป็นไปได้  หมายถึง  ค่าของตัวแปรที่อาจจะเกิดขึ้นได้จริง
   ค่าจากการสังเกต  หมายถึง  ค่าที่เก็บรวบรวมได้มาจริงๆ

  การแจกแจงความถี่ของข้อมูล (Frequency Distribution)
   เป็นวิธีการทางสถิติอย่างหนึ่งที่ใช้ในการจัดข้อมูลที่มีอยู่ หรือที่เก็บรวบรวมมาได้ให้อยู่เป็นกลุ่มๆ เพื่อสะดวกในการวิเคราะห์ข้อมูลเหล่านั้น
   การแจกแจงความถี่ จัดเป็น 2 ลักษณะ ดังนี้
   1. การแจกแจงความถี่แบบไม่จัดเป็นอันตรภาคชั้น ใช้กับข้อมูลที่มีค่าสูงสุดและต่ำสุดของข้อมูลไม่แตกต่างกันมากนัก หรือข้อมูลที่มีค่าของจำนวนที่ต่างกันมีไม่มาก
   2. การแจกแจงความถี่แบบจัดเป็นอันตรภาคชั้น ใช้กับข้อมูลที่มีค่าสูงสุดและต่ำสุดของ
ข้อมูลแตกต่างกันมาก หรือการแจกแจงไม่สะดวกที่จะใช้ค่าสังเกตทุกๆค่า เพื่อความสะดวกจึงใช้วิธีแจกแจงความถี่ของค่าที่เป็นไปได้แทน โดยแบ่งค่าที่เป็นไปได้ออกเป็นช่วง หรืออันตรภาคชั้น (Interval)

 ศัพท์ที่ใช้ในตารางแจกแจงความถี่
  1. อันตรภาคชั้น (Class Interval) หรือเรียกสั้นๆ ว่า ชั้น หมายถึง ช่วงของคะแนนในแต่ละพวกที่แบ่ง
   อันตรภาคชั้นต่ำสุด หมายถึง อันตรภาคชั้นของข้อมูลที่มีค่าต่ำสุดอยู่
   อันตรภาคชั้นสูงสุด หมายถึง อันตรภาคชั้นของข้อมูลที่มีค่าสูงสุดอยู่
   อันตรภาคชั้นต่ำกว่า หมายถึง อันตรภาคชั้นของข้อมูลที่มีค่าน้อยกว่า
   อันตรภาคชั้นสูงกว่า หมายถึง อันตรภาคชั้นของข้อมูลที่มีค่ามากกว่า
   2. ความถี่ (Frequency) หมายถึง จำนวนข้อมูลที่มีอยู่ในแต่ละอันตรภาคชั้น
   3. ตารางแจกแจงความถี่ (Frequency Distribution Table) หมายถึง ตารางที่เขียนเรียงลำดับข้อมูล และแสดงให้เห็นว่าแต่ละข้อมูล หรือกลุ่มข้อมูลมีความถี่เท่าใด
   4. ขอบล่าง (Lower Boundary) ของอันตรภาคชั้น หมายถึง ค่ากึ่งกลางระหว่างค่าที่น้อยที่สุดของอันตรภาคชั้นนั้นกับค่าที่มากที่สุดของอันตรภาคชั้นที่ต่ำกว่าหนึ่งชั้น หรือขอบล่างเท่ากับค่าที่น้อยที่สุดของอันตรภาคชั้นบวกกับค่าที่มากที่สุดของอันตรภาคชั้นที่ต่ำกว่าหนึ่งชั้นแล้วหารด้วย 2
   5. ขอบบน (Upper Boundary) ของอันตรภาคชั้น หมายถึง ค่ากึ่งกลางระหว่างค่าที่มากที่สุดของอันตรภาคชั้นนั้นกับค่าที่น้อยที่สุดของอันตรภาคชั้นที่สูงกว่าหนึ่งชั้น หรือขอบบนเท่ากับค่าที่มากที่สุดของอันตรภาคชั้นนั้นบวกกับค่าที่น้อยที่สุดของอันตรภาคชั้นที่สูงกว่าหนึ่งชั้น แล้วหารด้วย 2
   จะเห็นว่า ขอบบนของอันตรภาคชั้นหนึ่งย่อมเท่ากับขอบล่างของอันตรภาคชั้นที่สูงกว่าหนึ่งชั้นเสมอ
   6. ความกว้างของอันตรภาคชั้น (Interval) หมายถึง ผลต่างระหว่างขอบบนและขอบล่างของอันตรภาคชั้นนั้น
   7. จุดกึ่งกลางชั้น (Middle Point) ของอันตรภาคชั้น หมายถึง ค่ากึ่งกลางระหว่างขอบล่างและขอบบนของอันตรภาคชั้นนั้น นิยมใช้สัญลักษณ์ X

 การสร้างตารางแจกแจงความถี่
   ควรทำเป็นขั้นตอนดังนี้
   1. หาพิสัย (Range)โดย พิสัย = ค่าสูงสุด - ค่าต่ำสุด
   2. ถ้าโจทย์กำหนดจำนวนอันตรภาคชั้นมาให้ เราต้องคำนวณหาความกว้างของแต่ละ อันตรภาคชั้น โดยใช้หลักเกณฑ์ดังนี้

   

   
   ถ้า I เป็นทศนิยม ให้ปัดขึ้นเป็นจำนวนเต็มเสมอ
   ถ้าโจทย์กำหนดความกว้างของอันตรภาคชั้นมาให้ เราสามารถหาจำนวนของอันตรภาคชั้น โดยใช้หลักเกณฑ์ได้ดังนี้

   
   
   ถ้าโจทย์กำหนดจุดกึ่งกลางมาให้ เราสามารถหาความกว้างของอันตรภาคชั้นได้ดังนี้
   ความกว้างของอันตรภาคชั้น   =    ผลต่างของจุดกึ่งกลางของชั้นที่อยู่ติดกัน
   3. เขียนอันตรภาคชั้นเรียงตามลำดับ แล้วดูว่าค่าจากการสังเกตแต่ละค่าของข้อมูลอยู่ในอันตรภาคชั้นใด ก็ให้ขีด “ |” ลงในอันตรภาคชั้นไปเรื่อยๆ จนครบทุกค่าจากการสังเกตของข้อมูล
   4. นับจำนวนขีดในแต่ละอันตรภาคชั้นและสรุปออกมาเป็นจำนวน ซึ่งจำนวนดังกล่าวคือความถี่ (f)

ตัวอย่าง     จากข้อมูลต่อไปนี้ จงสร้างตารางแจกแจงความถี่ โดยให้มีอันตรภาคชั้นจำนวน 8 ชั้น

                     74        68         73           62           78           65           98           75           83           69

                     76        64         75           70           91           86           78           58           54           65

                     80        85         80           94           56           68           66           77           53           86

                1.  หาพิสัย  =  ค่ามากที่สุด - ค่าน้อยที่สุด
                                             =  98-53
                                             =  45

                          2. หาความกว้างของอันตรภาคชั้น หรือจำนวนชั้น จากสูตร

                        3.เขียนอันตรภาคชั้นเรียงตามลำดับ โดยให้ค่าที่น้อยที่สุดอยู่ในชั้นที่ 1 และค่าที่มากที่สุดอยู่ในชั้นสุดท้าย (ชั้นสูงสุด)

                       4. ดูว่าค่าของข้อมูลแต่ละค่าอยู่ในอันตรภาคชั้นใด ให้บันทึกในช่องรอยขีด

                       5. นับจำนวนรอยขีดในแต่ละอันตรภาคชั้น ใส่ในช่องความถี่

   จากข้อมูลข้างต้น ได้ตารางแจกแจงความถี่ดังนี้ (จำนวน 8 ชั้น)

อันตรภาคชั้น	รอยขีด	ความถี่
53 – 58 59 – 64 65 – 70 71 – 76 77 – 82 83 – 88 89 – 94 95 - 100		4 2 7 5 5 4 2 1
รวม		30

   จากตารางข้างต้น

                เรียก 53 ว่า ค่าน้อยที่สุดของอันตรภาคชั้นที่ 1
                เรียก 58 ว่า ค่ามากที่สุดของอันตรภาคชั้นที่ 1
                เรียก 59 ว่า ค่าน้อยที่สุดของอันตรภาคชั้นที่ 2
                เรียก 64 ว่า ค่ามากที่สุดของอันตรภาคชั้นที่ 2

ขอบบนและขอบล่างของแต่ละอันตรภาคชั้น
   จากตารางแจกแจงความถี่ข้างต้น ถ้ามีค่าข้อมูลเป็น 64.8 เราจะต้องมีอันตรภาคชั้นที่ครอบคลุมค่านี้ ดังนั้นเพื่อให้อันตรภาคชั้นครอบคลุมค่าข้อมูลได้หมดทุกค่า แต่ละอันตรภาคชั้นต้องขยายออกไปข้างละครึ่งหนึ่ง

   เรียก 58.5 ว่า ขอบบนของอันตรภาคชั้นที่ 1 หรือ ขอบล่างของอันตรภาคชั้นที่ 2
   เรียก 64.5 ว่า ขอบบนของอันตรภาคชั้นที่ 2 หรือ ขอบล่างของอันตรภาคชั้นที่ 3
   ดังนั้น อันตรภาคชั้น 53 – 58 จะครอบคลุมค่าข้อมูลตั้งแต่ 52.5 – 58
             อันตรภาคชั้น 59 – 64 จะครอบคลุมค่าข้อมูลตั้งแต่ 58.5 – 64.5

 จุดกึ่งกลางของอันตรภาคชั้น
   ในกรณีที่นำเสนอข้อมูลในลักษณะตารางแจกแจงความถี่เป็นอันตรภาคชั้น และเราไม่ทราบค่าข้อมูลเดิม แต่เราจำเป็นต้องนำค่าข้อมูลไปคำนวณ จึงต้องหาค่าใดค่าหนึ่งเป็นตัวแทนของค่าข้อมูลในอันตรภาคชั้นดังกล่าว ซึ่งคือค่าที่เป็นจุดกึ่งกลางของอันตรภาคชั้นนั้น โดยหาได้จาก

  ตัวอย่าง     จากตารางแจกแจงความถี่ข้างต้น

การแจกแจงความถี่สะสม
   ความถี่สะสม (Commulative Frequency) ของค่าที่เป็นไปได้ค่าใดหรืออันตรภาคชั้นใด หมายถึง ผลรวมของความถี่ของค่านั้นหรืออันตรภาคชั้นนั้น กับความถี่ของค่าหรือของอันตรภาคชั้นที่มีช่วงคะแนนต่ำกว่าทั้งหมด หรือสูงกว่าทั้งหมดอย่างใดอย่างหนึ่ง (นิยมใช้ความถี่สะสมแบบต่ำกว่า)

อันตรภาคชั้น	คามถี่	ความถี่สะสม
		ความถี่สะสมแบบต่ำกว่า	ความถี่สะสมแบบสูงกว่า
10 – 14 15 – 19 20 – 24 25 – 29 30 – 34	2 3 10 4 1	2 5 15 19 20	20 18 15 5 1

การแจกแจงความถี่สัมพัทธ์และความถี่สะสมสัมพัทธ์
   ความถี่สะสมสัมพัทธ์ของอันตรภาคชั้นใด คือ    อัตราส่วนระหว่างความถี่สะสมของ
   อันตรภาคชั้นนั้นกับทั้งหมด ซึ่งอาจแสดงในรูปเศษส่วน ทศนิยม หรือร้อยละ

อันตรภาคชั้น	ความถี่	ความถี่สัมพัทธ์	ร้อยละของความถี่สัมพัทธ์	ความถี่สะสม	ความถี่สะสมสัมพัทธ์
50 – 59	2		4	2
60 – 69	11		22	13
70 – 79	20		40	33
80 – 89	14		28	47
90 - 99	3		6	50

 หมายเหตุ  กรณีที่ข้อมูลไม่จัดเป็นอันตรภาคชั้นสามารถใช้วิธีเดียวกันนี้ได้

การวัดค่ากลางของข้อมูล

การหาค่ากลางของข้อมูลที่เป็นตัวแทนของข้อมูลทั้งหมดเพื่อความสะดวกในการสรุปเรื่องราวเกี่ยวกับข้อมูลนั้นๆ  จะช่วยทำให้เกิดการวิเคราะห์ข้อมูลถูกต้องดีขึ้น  การหาค่ากลางของข้อมูลมีวิธีหาหลายวิธี  แต่ละวิธีมีข้อดีและข้อเสีย  และมีความเหมาะสมในการนำไปใช้ไม่เหมือนกัน  ขึ้นอยู่กับลักษณะข้อมูลและวัตถุประสงค์ของผู้ใช้ข้อมูลนั้นๆ

ค่ากลางของข้อมูลที่สำคัญ  มี 3  ชนิด คือ

1.       ค่าเฉลี่ยเลขคณิต    (Arithmetic mean)

2.      มัธยฐาน                  (Median)

3.      ฐานนิยม                  (Mode)

 1. ค่าเฉลี่ยเลขคณิต (Arithmetic mean)
        ใช้สัญลักษณ์ คือ  

1.1 การหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลที่ไม่แจกแจงความถี่

ให้  x₁ , x₂ , x₃ , …,  x_N  เป็นข้อมูล  N  ค่า

ตัวอย่าง   จากการสอบถามอายุของนักเรียนกลุ่มหนึ่งเป็นดังนี้  14 , 16 , 14 , 17 , 16 , 14 , 18 , 17

  1) จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของอายุนักเรียนกลุ่มนี้

  2) ถ้ามีนักเรียนมาเพิ่มอีก 1 คน และมีอายุเป็น 17 ปี  ค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็นเท่าใด

  3) เมื่อ 3 ปีที่แล้ว ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของอายุนักเรียนกลุ่มนี้เป็นเท่าใด

1) วิธีทำ     

      ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของนักเรียนกลุ่มนี้ คือ 15.75 ปี

2) วิธีทำ
    เดิมมีนักเรียน 8 คน แต่มีนักเรียนเพิ่มใหม่อีก 1 คน รวมมีนักเรียน 9 คน

       ค่าเฉลี่ยเลขคณิต  คือ  15.89 ปี

3) วิธีทำ   
      เมื่อ 3 ปีที่แล้ว    11   13   11   14   13   11   15   14
     อายุปัจจุบัน       14   16   14   17   16   14   18   17

เมื่อ 3 ปีที่แล้ว  ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของอายุของนักเรียนกลุ่มนี้  คือ  12.75  ปี

1.2 ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลที่แจกแจงความถี่

    ถ้า  f₁ , f₂ , f₃ , … , f_k  เป็นความถี่ของค่าจากการสังเกต  x₁ , x₂ , x₃ ,…. , x_k

 

ตัวอย่าง   จากตารางแจกแจงความถี่ของคะแนนสอบของนักเรียน 40 คน  ดังนี้  จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต

คะแนน	จำนวนนักเรียน (f1)	x1	f1x1
11 – 12 21 – 30 31 – 40 41 – 50 51 - 60	7 6 8 15 4	15.5 25.5 35.5 45.5 55.5	108.5 153 284 682.5 222

วิธีทำ

 =  

        =  

        =  34

   ค่าเฉลี่ยเลขคณิต     =     34

        =   

2.       =  0

3.       น้อยที่สุด  เมื่อ  M   =    หรือ   

               เมื่อ  M  เป็นจำนวนจริงใดๆ

 4.      

5.     ถ้า     y₁  =  a_xi + b  ,   I =  1,  2,  3,  …….,  N   เมื่อ  a , b  เป็นค่าคงตัวใดๆแล้ว

                       = a  +  b

 ค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวม (Combined Mean)

     ถ้า      เป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดที่ 1 , 2 , … , k  ตามลำดับ

     ถ้า   N₁ , N₂ , … , N_k    เป็นจำนวนค่าจากการสังเกตในข้อมูลชุดที่ 1 , 2 ,… , k  ตามลำดับ

       =  
     ตัวอย่าง      ในการสอบวิชาสถิติของนักเรียนโรงเรียนปราณีวิทยา  ปรากฏว่านักเรียนชั้น ม.6/1  จำนวน 40  คน  ได้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบเท่ากับ  70  คะแนน  นักเรียนชั้น ม.6/2  จำนวน 35 คน  ได้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบเท่ากับ  68  คะแนน  นักเรียนชั้น ม.6/3  จำนวน 38 คน  ได้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบเท่ากับ  72  คะแนน  จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบของนักเรียนทั้ง 3 ห้องรวมกัน

                                      วิธีทำ                     รวม  =   

                                                                                          =    

                                                                                          =  70.05

   2.  มัธยฐาน (Median)
   ใช้สัญลักษณ์  Med  คือ  ค่าที่มีตำแหน่งอยู่กึ่งกลางของข้อมูลทั้งหมด  เมื่อได้เรียงข้อมูลตามลำดับ ไม่ว่าจากน้อยไปมาก หรือจากมากไปน้อย

  การหามัธยฐานของข้อมูลที่ไม่ได้แจกแจงความถี่
  หลักการคิด
  1) เรียงข้อมูลที่มีอยู่ทั้งหมดจากน้อยไปมาก หรือมากไปน้อยก็ได้
   2) ตำแหน่งมัธยฐาน  คือ  ตำแหน่งกึ่งกลางข้อมูล  ดังนั้นตำแหน่งของมัธยฐาน =

       เมื่อ N คือ จำนวนข้อมูลทั้งหมด

   3) มัธยฐาน  คือ  ค่าที่มีตำแหน่งอยู่กึ่งกลางของข้อมูลทั้งหมด

 

ข้อควรสนใจ 
  1. เนื่องจากตำแหน่งกึ่งกลางเป็นตำแหน่งที่เราจะหามัธยฐาน  ดังนั้น  เราจะเรียกตำแหน่งนี้ว่า  ตำแหน่งของมัธยฐาน
  2. เราไม่สามารถหาตำแหน่งกึ่งกลางโดยวิธีการตามตัวอย่างข้างต้น     เพราะต้องเสีย   เวลาในการนำค่าจากการสังเกตมาเขียนเรียงกัน       ทีละตำแหน่ง      ดังนั้น    เราจะใช้วิธีการคำนวณหา โดยสังเกตดังนี้
      ตำแหน่งมัธยฐาน     =     
  3. ในการหามัธยฐาน  ความสำคัญอยู่ที่  นักเรียนต้องหาตำแหน่งของมัธยฐานให้ได้ เสียก่อนแล้วจึงไปหาค่าของข้อมูล  ณ  ตำแหน่งนั้น


ตัวอย่าง  กำหนดให้ค่าจากการสังเกตในข้อมูลชุดหนึ่ง  มีดังนี้
                      5,  9,  16,  15,  2,  6,  1,  4,  3,  4, 12,  20,  14,  10,  9,  8,  6,  4,  5,  13
                      จงหามัธยฐาน
   วิธีทำ       เรียงข้อมูล   1 , 2 , 3 , 4 , 4 , 4 , 5 , 5 , 6 , 6 , 8 , 9 , 9 , 10 , 12 , 13 , 14 , 15 , 16 , 20  ตำแหน่งมัธยฐาน         =   

                                    =    

                                    =    10.5

      ค่ามัธยฐาน              =     =     7 

   การหามัธยฐานของข้อมูลที่จัดเป็นอันตรภาคชั้น
  ขั้นตอนในการหามัธยฐานมีดังนี้
  (1)   สร้างตารางความถี่สะสม
  (2)หาตำแหน่งของมัธยฐาน คือ

       เมื่อ Nเป็นจำนวนของข้อมูลทั้งหมด
  (3)  ถ้า  เท่ากับความถี่สะสมของอันตรภาคชั้นใด อันตรภาคชั้นนั้นเป็นชั้น      มัธยฐาน และมีมัธยฐานเท่ากับขอบบน

       ของอันตรภาคชั้นนั้น    ถ้า ไม่เท่าความถี่สะสมของอันตรภาคชั้นใดเลย อันตรภาคชั้นแรกที่มีความถี่สะสมมากกว่า  

       เป็นชั้นของมัธยฐาน และหามัธยฐานได้จากการเทียบบัญญัติไตรยางค์ หรือใช้สูตรดังนี้
       จากข้อมูลทั้งหมด N จำนวน  ตำแหน่งของมัธยฐานอยู่ที่

        Med    =

         เมื่อ         L        คือ ขอบล่างของอันตรภาคชั้นที่มีมัธยฐานอยู่

   คือ ผลรวมของความถี่ของทุกอันตรภาคชั้นที่มีมัธยฐานอยู่

      f_M       คือ ความถี่ของชั้นที่มีมัธยฐานอยู่

         I       คือ ความกว้างของอันตรภาคชั้นที่มีมัธยฐานอยู่

       N       คือ จำนวนข้อมูลทั้งหมด

         ตารางที่มีชั้นแบบเปิด  จะหา    ไม่ได้  แต่หามัธยฐานและฐานนิยมได้   ถ้าตำแหน่ง
เท่ากับความถี่สะสม (หรือเป็นตัวสุดท้ายของชั้น)  ให้ตอบขอบบนของชั้นนั้น 

  3.  ฐานนิยม (Mode)

 การหาฐานนิยมของข้อมูลที่ไม่แจกแจงความถี่
 หลักการคิด     
 -  ให้ดูว่าข้อมูลใดในข้อมูลที่มีอยู่ทั้งหมด  มีการซ้ำกันมากที่สุด(ความถี่สูงสุด)  ข้อมูลนั้นเป็นฐานนิยมของข้อมูลชุดนั้น
  หมายเหตุ        
  -   ฐานอาจจะไม่มี  หรือ  มีมากกว่า 1 ค่าก็ได้                       

   สิ่งที่ต้องรู้           
   1.  ถ้าข้อมูลแต่ละค่าที่แตกต่างกัน  มีความถี่เท่ากันหมด  เช่น  ข้อมูลที่ประกอบด้วย  2,  7,  9,  11,  13  จะพบว่า  แต่ละค่าของข้อมูลที่แตกต่างกัน จะมีความถี่เท่ากับ  1  เหมือนกันหมด   ในที่นี้แสดงว่า   ไม่นิยมค่าของข้อมูลตัวใดตัวหนึ่งเป็นพิเศษ  ดังนั้น   เราถือว่า ข้อมูลในลักษณะดังกล่าวนี้  ไม่มีฐานนิยม
  2.   ถ้าข้อมูลแต่ละค่าที่แตกต่างกัน   มีความถี่สูงสุดเท่ากัน  2  ค่า   เช่น   ข้อมูลที่     ประกอบด้วย   2,  4,  4,  7,  7,   9,   8,   5  จะพบว่า  4  และ  7  เป็นข้อมูลที่มีความถี่สูงสุดเท่ากับ  2  เท่ากัน  ในลักษณะเช่นนี้  เราถือว่า  ข้อมูลดังกล่าวมีฐานนิยม  2  ค่า  คือ  4  และ  7
   3.  จากข้อ  1,    2,  และตัวอย่าง  แสดงว่า  ฐานนิยมของข้อมูล  อาจจะมีหรือไม่มีก็ได้     ถ้ามีอาจจะมีมากกว่า 1 ค่าก็ได้





  การหาฐานนิยมของข้อมูลที่มีการแจกแจงเป็นอันตรภาคชั้น
  การประมาณอย่างคร่าวๆ

  ฐานนิยม    คือ    จุดกึ่งกลางชั้นที่มีความถี่สูงสุด

  ตัวอย่าง    จากตารางแจกแจงความถี่ต่อไปนี้  จงหาฐานนิยมโดยประมาณอย่างคร่าวๆ

คะแนน	ความถี่
20-29 30-39 40-49 50-59 60-69	2 10 15 13 5

อันตรภาคชั้นที่มีความถี่สูงสุด  คือ  40-49

                                               จุดกลางชั้น  คือ     

ดังนั้น  ฐานนิยมโดยประมาณ  คือ  44.5

   คุณสมบัติที่สำคัญของฐานนิยม
1.   ฐานนิยมสามารถหาได้จากเส้นโค้งของความถี่  และฮิสโทแกรม
2.   ในข้อมูลแต่ละชุด  อาจจะมีฐานนิยมหรือไม่มีก็ได้  ถ้ามี  อาจจะมีเพียงค่าเดียว  หรือหลายค่าก็ได้
3.   ให้   X₁,   X₂,   X₃,  …..,  X_N   เป็นข้อมูลชุดหนึ่งที่มีฐานนิยมเท่ากับ  Mo
      ถ้า  k  เป็นค่าคงตัว  จะได้ว่า    X₁+k,   X₂+k,   X₃+k,  ….,  X_N+k    เป็นข้อมูลที่มีฐานนิยมเท่ากับ   Mo + k
4.  ให้   X₁,   X₂,   X₃,  ….,   X_N   เป็นข้อมูลชุดหนึ่งที่มีฐานนิยมเท่ากับ   Mo
      ถ้า   k   เป็นค่าคงตัว  ซึ่ง  k   =/=  0   จะได้ว่า   kX₁,   kX₂,   kX₃,  …,  kX_N  จะเป็นข้อมูลที่มีฐานนิยมเท่ากับ   kMo
      คุณสมบัติข้อที่  3  และ  4  ก็เช่นเดียวกับค่าเฉลี่ยเลขคณิต  และมัธยฐาน  กล่าวคือ  ถ้านำค่าคงตัวไปบวก  หรือคูณกับค่าจากการสังเกตทุกตัวในข้อมูลชุดหนึ่ง  ฐานนิยมของข้อมูลชุดใหม่นี้  จะเท่ากับ  ฐานนิยมของข้อมูลชุดเดิม  บวกหรือคูณกับค่าคงตัวดังกล่าว  ตามลำดับ  (อย่าลืม !  ถ้าเป็นการคูณ  ค่าคงตัวที่นำไปคูณไม่เท่ากับศูนย์)

---------------------------------------


ข้อมูลดิบมาก่อนละกัน เดี๋ยวจะมาเรียบเรียงเป็นภาษาคนฟัง