[ NotebooK ] บันทึกการเรียน

ลำดับตอนที่ #2 : SET เซต

เซต :กลุ่ม หมู่ เหล่า กอง ฝูง ชุดและเมื่อกล่างถึงเซตของสิ่งใด ๆ จะทราบได้ทันทีว่าในเซตนั้นมีอะไรบ้างเราเรียกสิ่งที่อยู่ในเซตว่า สมาชิก

เราไม่สามารถกำหนดเซตของ adj. ได้ 
เพราะไม่มีมาตรฐานตายตัว เช่น เซตคนหล่อ เซตสาวหื่น เซตคนเก่ง.....


สัญลักษณ์ที่ใช้แทนเซต ชื่อและสมาชิกของเซต

1. สามารถใช้วงกลม, วงรี แทนเซตต่าง ๆ ได้

2. ชื่อเซตนิยมใช้ตัวใหญ่ทั้งหมด เช่น A, B, C, ...

3. สัญลักษณ์แทนคำว่า   "เป็นสมาชิกของ"
                  แทนคำว่า   "ไม่เป็นสมาชิกของ

การเขียนเซตนอกจากจะเขียนวงกลมหรือวงรีล้อมรอบสมาชิกทั้งหมดของเซตแล้วเรายังมีวิธีเขียนเซตได้ 2 วิธี

1) วิธีแจกแจงสมาชิก (Tubular form) มีหลักการเขียน ดังนี้

   1. เขียนสมาชิกทั้งหมดในวงเล็บปีกกา

   2. สมาชิกแต่ละตัวคั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค (,)

   3. สมาชิกที่ซ้ำกันให้เขียนเพียงตัวเดียว

   4. ในกรณีที่จำนวนสมาชิกมาก ๆ ให้เขียนสมาชิกอย่างน้อย 3 ตัวแรก แล้วใช้จุด 3 จุด (Tripple dot) แล้วจึงเขียนสมาชิกตัวสุดท้าย

2) วิธีบอกเงื่อนไขของสมาชิก (Set builder form) หลักการเขียนมีดังนี้

  1. เขียนเซตด้วยวงเล็บปีกกา

2. กำหนดตัวแปรแทนสมาชิกทั้งหมดตามด้วยเครื่องหมาย | (| อ่านว่า "โดยที")่ แล้ว ตามด้วยเงื่อนไขของตัวแปรนั้น ดังรูปแบบ {x | เงื่อนไขของ x}

 

เซต	แบบแจกแจงสมาชิก	แบบบอกเงื่อนไข
A เป็นเซตของจำนวนเต็มบวกที่มีค่าน้อยกว่า 5	A = {1, 2, 3, 4}	A = {x | x เป็นจำนวนเต็มบวกที่มีค่าน้อยกว่า 5}
B เซตของวันในหนึ่งสัปดาห์	B = {วันอาทิตย์, วันจันทร์, วันอังคาร, วันพุธ, วันพฤหัสบดี, วันศุกร์, วันเสาร์}	B = {x | x เป็นชื่อวันในหนึ่งสัปดาห์}
C เป็นเซตของตัวอักษรในภาษาอังกฤษ	C = {a, b, c, ... ,z}	C = {y | y เป็นตัวอักษรในภาษาอังกฤษ}

ลักษณะของเซต
เซตว่าง (Empty Set) คือ เซตที่ไม่มีสมาชิกเลย เขียนแทนด้วย { } หรือ     เช่น

 เซตของจำนวนเต็มที่อยู่ระหว่าง 1 กัน 2
 เซตของสระในคำว่า "อรวรรณ"  

 

เซตจำกัด (Finite Set) คือ เซตที่มีจำนวนสมาชิกเท่ากัจำนวนเต็มบวก หรือศูนย์เช่น
 มีจำนวนสมาชิกเป็น 0
{1, 2, 3, ...,100} มีจำนวนสมาชิกเป็น 100 

 

เซตอนันต์ (Infinite Set)  คือเซตที่ไม่ใช่เซตจำกัด ไม่สามารถบอกจำนวนสมาชิกได้เช่น
เซตของจำนวนเต็มบวก {1, 2, 3, ...}
เซตของจุดบนระนาบ

 

 

ความสัมพันธ์ของเซต

1. เซตที่เท่ากัน (Equal Sets)

คือ เซตสองเซตที่มีสมาชิกเหมือนกัน
สัญลักษณ์ เซต A เท่ากับ เซต B แทนด้วย A = B
                  เซต A ไม่เท่ากับ เซต B แทนด้วย A  B

 

A = {1, 2, 3, 4, 5}   B = {1, 2, 3, 4, 3, 2, 5, 5, 5}

เซต A มีสมาชิกเหมือนกับเซต B 

A = B

 

C = {a, e, i, o, u}   D = {i, o, u, e, o}

เซต C มีสมาชิกเหมือนกับเซต D

C = D

 

G = {สีแดง, สีน้ำเงิน, สีขาว} H = {สีแดง, สีน้ำเงิน, สีเหลือง}

สีขาว  G แต่ สีขาว H

G  H

 

2. เซตที่เทียบเท่ากัน (Equivalentl Sets)คือ เซตที่มีจำนวนสมาชิกเท่ากัน และสมาชิกของเซตจับคู่กันได้พอดีแบบหนึ่งต่อหนึ่ง
สัญลักษณ์ เซต A เทียบเท่ากับ เซต B แทนด้วย A  B

 

A = {a, b, c, d, e}  B = {1, 2, 3, 4, 5}

A  B แต่เซตทั้งสองมีจำนวนสมาชิกเท่ากัน และสามารถจับคู่แบบ 1:1 ได้พอดี

 A  B

 

C = {x | x  I⁺} D = {x | x = 2n , n = 1, 2, 3, ...}

C เป็นเซตจำนวนเต็มบวก {1, 2, 3, ...}
ส่วนเซต D เป็นเซตของจำนวนคู่ตั้งแต่ 2 ขึ้นไป {2, 4, 6, ...}
โดยสมาชิกของเซต C กับ D จับคู่แบบ 1:1 ได้พอดี

 C  D

  

หมายเหตุ

1. ถ้า A = B แล้ว A  B 2. ถ้า A   B แล้ว ไม่อาจสรุปได้ว่า A = B

 

 

 

 
สับเซต

การที่เซต A จะเป็นสับเซตของเซต B ได้นั้นสมาชิกทุกตัวของเซต A จะต้องเป็นสมาชิกของเซต B

สัญลักษณ์ เซต A เป็นสับเซตของเซต B เเทนด้วย A   B
สัญลักษณ์ เซต A ไม่เป็นสับเซตของเซต B เเทนด้วย A   B

      A = {1, 2}     B = {2, 3}   C = {1, 2, 3}     D = {1, 2, 3, 4}    
       A  B       A  C       A  D       B  A,      B  C       B  D    
       C  A,      C  B       C  D       D  A,      D  B       D  C   

หมายเหตุ

1. เซตทุกเซตเป็นสับเซตของตัวมันเอง (A                A) 2. เซตว่าง เป็นสับเซตของทุก ๆเซต (             A)  3. ถ้า A     แล้ว A =  4. ถ้า A    B และ B        C แล้ว A         C 5. A = B ก็ต่อเมื่อ A      B และ  B        A

พาวเวอร์เซต
ถ้า A เป็นเซตใด ๆ เพาเวอร์ของเซต A คือ เซตที่มีสมาชิกเป็นสับเซตทั้งหมดของ A เขียนแทนด้วย P(A)

เซต A	P(A)
	{  }
{a}	{, {a}}
{a, b}	{ , {a}, {b}, {a, b}}
{a, b, c}	{, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}

------------------------------------------------------------------------------------------


แผนภาพของเวนน์-ออยเลอร์
เอกภพสัมพัทธ์ คือ เซตที่กำหนดขอบเขตของสิ่งที่ต้องการศึกษาเขียนแทนด้วย m (ยูนิเวิร์ส) 


การพิจารณาเกี่ยวกับเซตจะง่ายขึ้น ถ้าเราใช้แผนภาพของเวนน์-ออยเลอร์ เข้ามาช่วย หลักการเขียนแผนภาพมีดังนี้
1. ใช้รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าหรือสี่เหลี่ยมมุมฉากแทนเอกภพสัมพัทธ์  
2. ใช้วงกลมหรือวงรีหรือรูปปิดใด ๆ แทนเซตต่าง ๆ ที่เป็นสมาชิก และเขียนภายในสี่เหลี่ยมผืนผ้า

1.	ยูเนียน (Union)	ยูเนียนของเซต A และ B คือเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกของเซต A หรือ B(เอารวมกัน) เขียนแทนด้วย  A        B
2.	อินเตอร์เซคชัน (Intersection)	อินเตอร์เซคชันของเซต A และ B คือเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกของเซต A และ B (เอาที่ซ้ำกัน) เขียนแทนด้วย  A       B
3.	คอมพลีเมนต์ (Complement)	คอมพลีเมนต์ของเซต A คือเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของเอกภพสัมพัทธ์แต่ไม่เป็นสมาชิกของ A(ไม่เอาเอ) เขียนแทนด้วย A'
4.	ผลต่างของเซต (Difference)	ผลต่างของเซต A และ B คือเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกของเซต แต่ไม่เป็นสมาชิกขอเซตB(เอาเอไม่ใช่บี ทนด้วย A - B

U = {1, 2, 3, ..., 20},      A = {1, 2, 3, 4, 5, 6},      B = {2, 4, 6, 8, 10, 12}
A  B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12}	A  B = {2, 4, 6}
A' = {7, 8, 9, ..., 20}	B' = {1, 3, 5, 7, 9, 11, ...,20}
(A  B)' = {7, 9, 11, 13, ..., 20}	(A  B)' = {1, 3, 5, 7, ..., 20}
A - B = {1, 3, 5}	B - A = {8, 10, 12}

จำนวนสมาชิก

 ถ้า A เป็นเซตจำกัด เราใช้สัญลักษณ์ n(A) หรือ |A| แทนจำนวนสมาชิกของ A 
  การหาจำนวนทำได้โดย
1. ใช้แผนภาพ
2. ใช้สูตร 
  กำหนดให้ Uเป็นเอกภพสัมพัทธ์  A  B  C  เป็นเซตจำกัด  

2.1  n(A  -   B)     =   n(A) - n(A  B)

2.2 n(B  -   A)      =   n(B) - n(B  A)

2.3  n(A    B)     =   n(A) + n(B) – n(A   B)

2.4  n(A    B   C)   =    
 n(A) + n(B) + n(C) – n(A    B) – n(A    C) – n(B    C)+ n(A   B C)



สมบัติของเซต

สิ่งที่ควรรู้

สัญลักษณ์	ความหมาย
N	เซตของจำนวนนับ
I+	เซตของจำนวนเต็มบวก (จำนวนนับ)
I-	เซตของจำนวนเต็มลบ
I	เซตของจำนวนเต็ม
Q	เซตของจำนวนตรรกยะ
Q'	เซตของจำนวนอตรรกยะ
R+	เซตของจำนวนจริงบวก
R-	เซตของจำนวนจริงลบ
R	เซตของจำนวนจริง

ข้อมูลจาก... 

http://oho.ipst.ac.th/Bookroom/snet2/knowledge_math/set/set9.htm#set9

http://www.tutormaths.com/mathapa1.doc

http://th.wikibooks.org/wiki/%E0%B8%9A%E0%B8%97%E0%B9%80%E0%B8%A3%E0%B8%B5%E0%B8%A2%E0%B8%99%E0%B9%80%E0%B8%8B%E0%B8%95

http://www.nfe.go.th/etv/document/knowledge_mat/knowledge_mat01.pdf

http://www.vcharkarn.com/include/vcafe/showkratoo.php?Pid=81864

http://www.panyathai.or.th/wiki/index.php/%E0%B9%80%E0%B8%8B%E0%B8%95

http://blog.spu.ac.th/malee/2007/12/17/entry-14

เข้าไปทำข้อสอบกันได้(ในบางเว็บ)

--------------------------------------