[ NotebooK ] บันทึกการเรียน

ลำดับตอนที่ #4 : ตรรกศาสตร์ 2

สัจนิรันดร์  ( Tautology) 
บทนิยาม สัจนิรันดร์ คือ ประพจน์ที่มีค่าความจริงทุกกรณี 

ตัวอย่างประพจน์ที่เป็นสัจนิรันดร์ที่ควรทราบ มีดังนี้
	p ∨ ~q	[ ~p ∧ ( p ∨ q)] → q
	~(p ∧ ~q)	[ ( p → q) ∧ ~q ] → ~p
	(p ∧ q) → p	(p ∧ q) ⇔ (q ∧ p)
	(p ∧ q) → q	(p ∨ q) ⇔ (q ∨ p)
	p → (p ∨ q)	(p → q) ⇔ (~p ∨ q)
	q → (p ∨ q)	(p → q) ⇔ (~q → ~p)
	[ p ∧ ( p → q)] → q	(~p ∨ q) ⇔ (~q → ~p)
	[ ~p ∧ ( p → q)] → ~q	( p ⇔ q) ⇔ [(p → q) ∧ (q → p)]
ข้อสังเกต	ประพจน์ที่สมมูลกัน เมื่อนำมาเชื่อมด้วยตัวเชื่อม ⇔ จะได้ประพจน์ใหม่ซึ่งเป็นสัจนิรันดร์ นั่นคือ ถ้า A และ B สมมูลกันแล้ว A ⇔ B เป็นสัจนิรันดร์

การทดสอบว่าประพจน์ใดเป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ ทำได้ 2 วิธีคือ
1. ใช้ตารางค่าความจริง 
 เพื่อดูว่ามีค่าความจริงเป็นจริงทุกกรณีจริงหรือไม่
2. ใช้การทำ Contradiction 
 คือการบังคับให้ประพจน์นั้นเป็นเท็จ ถ้าสามารถทำให้ประพจน์นั้นเป็นเท็จได้สำเร็จ แสดงว่าประพจน์นั้นไม่เป็นสัจนิรันดร์ แต่ถ้าไม่สามารถบังคับให้ประพจน์นั้นเป็นเท็จได้ ประพจน์นั้นจะเป็นสัจนิรันดร์ทันที

วิธีทำ 
(p   ~q)   (q   ~p)  กำหนดให้มีค่าเป็นเท็จ จะได้
(p   ~q)   (q   ~p)
F          F

  ดังนั้น   (p   ~q) = F
                   (T   ~T) = F 
              p = T , q = T
                   (q   ~p) = F
                 (T   ~T) = F 
              p = T , q = T
ไม่ขัดแย้งกัน แสดงว่าไม่ใช่สัจนิรันดร์

---------------------------------------------------------------------------------------------------

ประโยคเปิด

บทนิยาม

ประโยคเปิด คือ ประโยคบอกเล่า หรือประโยคปฏิเสธที่ประกอบด้วยตัวแปรทำให้ไม่เป็นประพจน์ และเมื่อแทนที่ตัวแปรด้วยสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์แล้วจะได้ประพจน์

          เราสามารถเขียนแทนประโยคเปิดที่ประกอบด้วยตัวแปร x ด้วยสัญลักษณ์ P(x) หรือ Q(x) และเขียนแทนประโยคเปิดที่ประกอบด้วยตัวแปร x และ y ด้วยสัญลักษณ์ P(x,y) หรือ Q(x,y)

ตัวอย่างเช่น

• เขาเป็นคนดี ⇒ เป็นประโยคเปิดที่ประกอบด้วยตัวแปร “เขา”

• x > 3 ⇒ เป็นประโยคเปิดที่ประกอบด้วยตัวแปร “x”

ตัวบ่งปริมาณ

          ตัวบ่งปริมาณ เป็นตัวระบุจำนวนสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์ที่ทำให้ประโยคเปิดกลายเป็นประพจน์ ตัวบ่งปริมาณมี 2 ชนิด คือ

1. ตัวบ่งปริมาณที่กล่าวถึง “สมาชิกทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์”

ซึ่งเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ “∀” อ่านว่า”สำหรับสมาชิก x ทุกตัว”

2. ตัวบ่งปริมาณที่กล่าวถึง “สมาชิกบางตัวในเอกภพสัมพัทธ์

ซึ่งเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ “∃” อ่านว่า “สำหรับสมาชิก x บางตัว”

ค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมาณ

1. ∀x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อ x ทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์ทำให้ P(x) เป็นจริง

2. ∀x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ เมื่อมี x อย่างน้อย 1 ตัวที่ทำให้ P(x) เป็นเท็จ

3. ∃x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อมี x อย่าน้อย 1 ตัวที่ทำให้ P(x) เป็นจริง

4. ∃x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ เมื่อไม่มี x ใดๆ ในเอกภพสัมพัทธ์ที่ทำให้ P(x) เป็นจริง

นิเสธของประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมาณ

~∀x[P(x)]

สมมูลกับ

∃x[~P(x)]

~∃x[P(x)]

สมมูลกับ

∀x[~P(x)]

~∀x[~P(x)]

สมมูลกับ

∃x[P(x)]

~∃x[~P(x)]

สมมูลกับ

∀x[P(x)]

ตัวอย่างเช่น

• ∀x[x < 0] เมื่อ  u = เซตของจำนวนเต็ม

มีค่าความจริงเป็นเท็จ เพราะเมื่อแทน x เป็นจำนวนเต็มบวกและศูนย์ จะทำให้ x < 0 เป็นเท็จ

• ∃x[x < 0]เมื่อ  u = เซตของจำนวนเต็ม

มีค่าความจริงเป็นจริง เพราะเมื่อแทน x เป็นจำนวนเต็มลบ จะทำให้ x < 0 เป็นจริง