คลังสมบัติ!! สรุปวิทย์-คณิต (บลาๆ) ม.4 a little bit จ้า ^O^

ลำดับตอนที่ #3 : การให้เหตุผล (1) [math]

•การให้เหตุผล•

ระบบคณิตศาสตร์ นั้นประกอบด้วยส่วนสำคัญ 4 ส่วนคือ อนิยาม นิยาม สัจพจน์ และทฤษฎีบท ซึ่งมีความจำเป็นที่ต้องพิสูจน์ให้เห็นว่าข้อความเหล่านั้น หรือการอ้างเหล่านั้นมีความสมเหตุสมผลหรือไม่

การพิสูจน์ทางตรรกศาสตร์ เป็นการพิสูจน์การให้เหตุผลโดยใช้ภาษาแสดงเหตุผล ซึ่งภาษาที่ใช้เขียนเป็นข้อกำหนด หรือข้อสมมติที่ตั้งขึ้น หรือเป็นข้อสนับสนุน เรียกว่า เหตุ สำหรับภาษาที่ใช้เขียนเป็นข้อสรุปหรือผลลัพธ์ที่ได้จากการกระทำ หรือเป็นข้อความความที่ถูกสนับสนุน เรียกว่า ผล ซึ่งผลที่ได้จากการพิสูจน์ทางตรรกศาสตร์หรือการให้เหตุผล มี 2 ลักษณะ คือ สมเหตุสมผล กับ ไม่สมเหตุสมผล

ในสมัยโบราณวิชาคณิตศาสตร์เกิดขึ้นมาโดยธรรมชาติการแก้ปัญหาของมนุษย์เป็นการคิดค้นและพยายามที่จะแก้ปัญหานั้นๆ เพื่อความอยู่รอดซึ่งความรู้ที่ได้มาจากความเป็นจริงในธรรมชาติ แนวทางการพัฒนาของวิชาคณิตศาสตร์ในสมัยนั้น จะเน้นวิธีการแก้ปัญหาเพียงเพื่อต้องการที่จะได้คำตอบก็พอโดยไม่คำนึงถึงความสัมพันธ์ใดๆ

ปัญหาที่เกิดขึ้นในสมัยก่อนส่วนใหญ่จะเกี่ยวข้องกับจำนวนนับหรือจำนวนธรรมชาติและเกี่ยวข้องกับความยาว มนุษย์จึงเริ่มรู้จักการใช้สัญลักษณ์แทนจำนวน รู้จักการคำนวณต่างๆ และสามารถใช้เรขาคณิตในการวัดระยะทาง ความสูง มุมต่างๆ เพื่อสร้างที่อยู่อาศัย เขื่อน และแอ่งเก็บน้ำต่างๆ

            ในสมัยต่อมา มนุษย์ได้อาศัยกระบวนการให้เหตุผลมาช่วยในการแสวงหาความรู้ใหม่นักคณิตสาสตร์เริ่มหันมาให้ความสนใจต่อการให้เหตุผลในแต่ละขั้นตอนของวิธีการแก้ปัญหามากยิ่งขึ้น ทำให้การพัฒนาระบบวิชาคณิตศาสตร์เป็นไปโดยไม่ขึ้นอยู่กับธรรมชาติมากนักเมื่อนักคณิตศาสตร์มีความสนใจในการให้เหตุผลในแต่ละขั้นตอนสำหรับวิธีการแก้ปัญหานั้นๆ ทำให้เกิดการแสดงเหตุผลโดยเป็นกระบวนการของเหตุและผลขึ้น

การแสดงเหตุผลจึงเป็นการเรียบเรียงข้อความหรือเหตุการณ์ต่างๆ ให้มีความต่อเนื่องและสัมพันธ์กัน ซึ่งทำให้ได้ข้อความใหม่หรือเหตุการณ์ใหม่ โดยเชื่อได้ว่าเป็นจริงหรือเท็จ

            ดังนั้นกระบวนการให้เหตุผลจึงไม่จำเป็นต้องมีรากฐานที่เป็นจริงในธรรมชาติหรือเป็นจริงในชีวิต ทำให้เกิดความเชื่อที่เป็นอิสระวิชาคณิตศาสตร์จึงมีความเจริญก้าวหน้าในแบบนามธรรมยิ่งขึ้นการให้เหตุผลเป็นการนำเอาข้อความหรือเหตุการณ์ตั้งแต่หนึ่งข้อความ หรือหลายข้อความมาเป็น เหตุและมีข้อความที่สัมพันธ์กับข้อความเหล่านั้นหนึ่งข้อความมาเป็น ข้อสรุป

มนุษย์รู้จักใช้การให้เหตุผลเพื่อสนับสนุนความเชื่อหรือเพื่อหาความจริง หรือข้อสรุปในเรื่องใดเรื่องหนึ่งมาแต่ครั้งโบราณ ในการสร้างความรู้ใหม่ต้องอาศัยสมมติฐานบางอย่าง โดยที่สมมติฐานนี้อาจจะได้มาจากการสังเกตจาปรากฏการณ์ธรรมชาติ หรือประเพณีวัฒนธรรมที่ปฏิบัติติดต่อกันมาตลอดจนเป็นที่ยอมรับกันโดยทั่วไป

ซึ่งสมมติฐานดังกล่าวสามารถจำแนกได้อย่างกว้างๆ 2 ลักษณะคือ

            1. สมมติฐานกรณีทั่วไป (เหตุใหญ่) เช่น

            -พลเมืองของประเทศไทยที่มีอายุตั้งแต่ 18 ปีขึ้นไปจะมีสิทธิออกเสียงเลือกตั้ง

            -จำนวนเต็มคู่ทุกจำนวนต้องหารด้วย 2 ลงตัว

            -เมื่อโยนวัตถุขึ้นไปในอากาศ วัตถุนั้นจะตกลงสู่พื้นโลกเสมอ

            2. สมมติฐานกรณีเฉพาะ (เหตุย่อย)

            -นายสุเทพมีอายุ 19 ปี มีสิทธิออกเสียงเลือกตั้ง

            -8 หารด้วย 2 ลงตัว

            -โยนก้อนหินขึ้นไปในอากาศก้อนหินจะตกลงสู่พื้นโลก

เมื่อมีการกำหนดสมมติฐานขึ้นมาไม่ว่าจะเป็นแบบใดและจะมีกี่สมมติฐาน เราถือว่า สมมติฐานดังกล่าวเป็นเหตุ นำสมมติฐานหรือเหตุดังกล่าวมาแจกแจงแสดงความสัมพันธ์ถึงความต่อเนื่องเกี่ยวโยงกันจนทำให้เกิดความรู้หรือปรากฏการณ์ใหม่ขึ้นมา ซึ่งเราเรียกว่า ผลหรือผลสรุป

การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญมีอยู่ 2 วิธี ได้แก่

            1. การให้เหตุผลแบบอุปนัย (Inductive Reasoning)

การให้เหตุผลแบบอุปนัย (Inductive Reasoning) เป็นการให้เหตุผลโดยอาศัยข้อสังเกตหรือผลการทดลองจากหลายๆ ตัวอย่างมาสรุปเป็นข้อตกลง หรือข้อคาดเดาทั่วไป หรือคำพยากรณ์ ซึ่งจะเห็นว่าการจะนำเอาข้อสังเกต หรือผลการทดลองจากบางหน่วยมาสนับสนุนให้ได้ข้อตกลง หรือข้อความทั่วไปซึ่งกินความถึงทุกหน่วย ย่อมไม่สมเหตุสมผล เพราะเป็นการอนุมานเกินสิ่งที่กำหนดให้ ซึ่งหมายความว่า การให้เหตุผลแบบอุปนัยจะต้องมีกฎของความสมเหตุสมผลเฉพาะของตนเอง นั่นคือ จะต้องมีข้อสังเกต หรือผลการทดลอง หรือมีประสบการณ์ที่มากมายพอที่จะปักใจเชื่อได้ แต่ก็ยังไม่สามารถแน่ใจในผลสรุปได้เต็มที่ เหมือนกับการให้เหตุผลแบบนิรนัย  ดังนั้นจึงกล่าวได้ว่าการให้เหตุผลแบบนิรนัยจะให้ความแน่นอน แต่การให้เหตุผลแบบอุปนัย จะให้ความน่าจะเป็น

            ตัวอย่างการให้เหตุผลแบบอุปนัย  เช่น  เราเคยเห็นว่ามีปลาจำนวนมากที่ออกลูกเป็นไข่เราจึงอนุมานว่า "ปลาทุกชนิดออกลูกเป็นไข่"  ซึ่งกรณีนี้ถือว่าไม่สมเหตุสมผล ทั้งนี้เพราะข้อสังเกต  หรือตัวอย่างที่พบยังไม่มากพอที่จะสรุป เพราะโดยข้อเท็จจริงแล้วมีปลาบางชนิดที่ออกลูกเป็นตัว เช่น ปลาหางนกยูง เป็นต้น         

โดยทั่วไปการให้เหตุผลแบบอุปนัยนี้ มักนิยมใช้ในการศึกษาค้นคว้าคุณสมบัติต่างๆ ทางด้านวิทยาศาสตร์ เช่น ข้อสรุปที่ว่า สารสกัดจากสะเดาสามารถใช้เป็นยากำจัดศัตรูพืชได้ ซึ่งข้อสรุปดังกล่าวมาจากการทำการทดลอง ซ้ำๆ กันหลายๆ ครั้ง แล้วได้ผลการทดลองที่ตรงกันหรือในทางคณิตศาสตร์จะใช้การให้เหตุผลแบบอุปนัย ในการสร้างสัจพจน์ เช่น  เมื่อเราทดลองลากเส้นตรงสองเส้นให้ตัดกัน เราก็พบว่าเส้นตรงสองเส้นจะตัดกันเพียงจุดๆ เดียวเท่านั้น ไม่ว่าจะทดลองลากกี่ครั้งก็ตาม เราก็อนุมานว่า "เส้นตรงสองเส้นตัดกันเพียงจุดๆ เดียวเท่านั้น"
            หรืออาจกล่าวได้ว่า การให้เหตุผลแบบอุปนัย เกิดจากการที่มีสมมติฐานกรณีเฉพาะ หรือเหตุย่อยหลายๆ เหตุ เหตุย่อยแต่ละเหตุเป็นอิสระจากกัน มีความสำคัญเท่าๆ กัน และเหตุทั้งหลายเหล่านี้ไม่มีเหตุใดเหตุหนึ่งแสดงให้เห็นถึงความเป็นสมมติฐานกรณีทั่วไป หรือกล่าวได้ว่า การให้เหตุผลแบบอุปนัยคือการนำเหตุย่อยๆ แต่ละเหตุมารวมกัน เพื่อนำไปสู่ผลสรุปเป็นกรณีทั่วไป เช่น

เหตุ
นกเป็นสิ่งมีชีวิต	ผึ้งเป็นสิ่งมีชีวิต
ปลาเป็นสิ่งมีชีวิต	แมวเป็นสิ่งมีชีวิต
ไส้เดือนเป็นสิ่งมีชีวิต	หมูเป็นสิ่งมีชีวิต
ผล
สัตว์เป็นสิ่งมีชีวิต

ตัวอย่างการให้เหตุผลแบบอุปนัย

            1. สุนทรี พบว่า ทุกครั้งที่คุณแม่ไปซื้อก๋วยเตี๋ยวผัดไทยจะมีต้นกุยช่ายมาด้วยทุกครั้ง

จึงสรุปว่า ก๋วยเตี๋ยวผัดไทยต้องมีต้นกุยช่าย

            2. ชาวสวนมะม่วงสังเกตมาหลายปีพบว่า ถ้าปีใดมีหมอกมาก ปีนั้นจะได้ผลผลิตน้อย เขาจึงสรุปว่าหมอกเป็นสาเหตุที่ทำให้ผลผลิตน้อย ต่อมามีชาวสวนหลายคนทดลองฉีดน้ำล้างช่อมะม่วง เมื่อมีหมอกมากๆ พบว่าจะได้ผลผลิตมากขึ้น

            จึงสรุปว่า การล้างช่อมะม่วงตอนมีหมอกมากๆ จะทำให้ได้ผลผลิตมากขึ้น

            3. นายสมบัติ พบว่า ทุกครั้งที่ทำความดีจะมีความสบายใจ

            จึงสรุปว่า การทำความดีจะทำให้เกิดความสบายใจ

4. ทุกเช้าพระอาทิตย์จะขึ้นทางทิศตะวันออกและตอนเย็นพระอาทิตย์จะตกทางทิศตะวันตก  

จึงสรุปว่า  พระอาทิตย์ขึ้นทางทิศตะวันออก และตกทางทิศตะวันตก

5. ในการศึกษาลักษณะของสิ่งมีชีวิต ดังต่อไปนี้

เหตุ      1) คนทุกคนต้องหายใจ

                                    2) นกทุกตัวต้องหายใจ

                                    3) แมวทุกตัวต้องหายใจ

                                    4) เต่าทุกตัวต้องหายใจ

                                    5) เสือทุกตัวต้องหายใจ

จึงสรุปว่า สัตว์ทุกชนิดต้องหายใจ

6. จากการสังเกตต่อไปนี้

เหตุ

1)สมชายเป็นไข้หวัดใหญ่ถ้ากินฟ้าทะลายโจร แล้วจะหายจากการเป็นไข้หวัดใหญ่

            2) สมหมายเป็นไข้หวัดใหญ่ถ้ากินฟ้าทะลายโจร แล้วจะหายจากการเป็นไข้หวัดใหญ่

            3) สมปองเป็นไข้หวัดใหญ่ถ้ากินฟ้าทะลายโจร แล้วจะหายจากการเป็นไข้หวัดใหญ่

            4) สมหวังเป็นไข้หวัดใหญ่ถ้ากินฟ้าทะลายโจร แล้วจะหายจากการเป็นไข้หวัดใหญ่

จึงสรุปว่า คนทุกคนที่เป็นไข้หวัดใหญ่ถ้ากินฟ้าทะลายโจร แล้วจะหายจากการเป็นไข้หวัดใหญ่

7. ในการทดลองชิมส้มในตะกร้าของพ่อค้า

เหตุ      1)ลูกที่ 1รสชาติหวาน

                        2) ลูกที่ 2 รสชาติหวาน

                        3) ลูกที่ 3 รสชาติหวาน

จึงสรุปว่า ส้มที่อยู่ในตะกร้าเป็นส้มที่มีรสหวาน

8. เหตุ

1) การสอบย่อยครั้งที่ 1 วีณาสอบตก

2) การสอบย่อยครั้งที่ 2 วีณาสอบตก

3) การสอบกลางภาค วีณาสอบตก

จึงสรุปว่า การสอบปลายภาค วีณาสอบตก

จากเหตุที่กำหนด ผลสรุปอาจเป็นจริงหรือไม่เป็นจริงก็ได้ เนื่องจากผลสรุปการสอบปลายภาคเป็นการคาดคะเนจากผลสอบครั้งที่ผ่านๆ มา ซึ่งนำมาสรุปไม่ได้ เพราะการสอบปลายภาค วีณาอาจขยันมากขึ้น

9. เหตุ

1) มานพใส่แว่นตา เขาเป็นคนขยันเรียน

2) สุรีย์ใส่แว่นตา เธอเป็นคนขยันเรียน

จึงสรุปว่า  มานะใส่แว่นตา เขาเป็นคนขยันเรียน

            จากเหตุที่กำหนดให้  ผลสรุปอาจเป็นจริงหรือไม่เป็นจริงก็ได้ เนื่องจากผลสรุปเป็นการคาดคะเนว่าคนใส่แว่นน่าจะเกิดจากการใช้สายตาอ่านหนังสือมาก แต่ความจริงมานะอาจมีปัญหาเรื่องสายตาอยู่แล้วก็ได้

ตัวอย่างการให้เหตุผลแบบอุปนัยทางคณิตศาสตร์

-จงใช้การให้เหตุผลแบบอุปนัยสรุปผลเกี่ยวกับผลบวกของจำนวนคู่สองจำนวน

0+2   =  2      (จำนวนคู่)

2+4   =  6      (จำนวนคู่)

4+6   =  10    (จำนวนคู่)

6+8   =  14    (จำนวนคู่)

8+10   = 18   (จำนวนคู่)

สรุปผลว่า ผลบวกของจำนวนคู่สองจำนวนเป็นจำนวนคู่

ข้อสังเกตและปัญหาของการให้เหตุผลแบบอุปนัย

1. การสรุปผลที่ได้จากการสังเกตหรือการทดลองหลายๆ ครั้ง ผลสรุปดังกล่าวอาจจะไม่เป็นจริงเสมอไป เช่นจากการพบไข่มุกหลาย ๆ ครั้ง ปรากฏว่าไข่มุกที่พบนั้นมีสีขาว จึงสรุปว่าไข่มุกมีสีขาว ซึ่งการสรุปผลนี้ไม่เป็นจริงเพรามีไข่มุกบางชนิดมีสีชมพูหรือสีเทา

2. การสรุปผลโดยการให้เหตุผลแบบอุปนัยนั้นบางครั้งผลสรุปของแต่ละคนอาจจะไม่เหมือนกัน เพราะผลที่ได้จากการสังเกตต้องขึ้นกับพื้นฐานและประสบการณ์ของผู้สังเกตแต่ละคน เช่น จงพิจารณาการเรียงลำดับจำนวนต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 1

2, 4, 6, …       จงหาจำนวนที่เรียงต่อจาก 6 มา 2 จำนวน

คนที่หนึ่ง สังเกตการเรียงของ 2, 4, 6 ว่าเป็นการเรียงของจำนวนคู่ ดังนั้น อีก 2 จำนวนถัดไปคือ 8, 10

คนที่สอง สังเกตการเรียงของ 2, 4, 6 ว่า สองจำนวนหน้าบวกกันจะได้จำนวนถัดไป เช่น 6 ได้มาจาก 2+4

แสดงว่า จำนวนที่ถัดจาก 6 ไป คือ   4+6   = 10

แสดงว่า จำนวนที่ถัดจาก 10 ไป คือ   6+10 = 16

ดังนั้น อีก 2 จำนวนถัดไป คือ 10, 16

คนที่สาม สังเกตการเรียงของ 2, 4, 6 ว่า จำนวนถัดไปต้องเกิดจาก 2 จำนวนหน้าคูณกันแล้วลบด้วย 2

เช่น  6 เกิดจาก  

แสดงว่า  จำนวนที่ถัดจาก 6 ไป           คือ 22

แสดงว่า  จำนวนที่ถัดจาก 22 ไป         คือ 130

ดังนั้น อีก 2 จำนวนถัดไป คือ 22, 130 เป็นต้น

ตัวอย่างที่ 2

กรณีที่ 1

ถ้าพิจารณาว่า  , ,

สามพจน์ถัดไปจะเป็น , ,

ดังนั้น สามพจน์ถัดไปคือ 8 , 16 , 32

กรณีที่ 2

ถ้าพิจารณาว่า 1 , 2 , 4 มีลักษณะการเพิ่มทีละ 1 , 2 ดังนั้นการเพิ่มจะเป็น 3 , 4 , 5

                 1     2     4     

ดังนั้น สามพจน์ถัดไปคือ 7 , 11 , 16

ตัวอย่างที่ 3

ถ้าผลบวกของเลขโดดในแต่ละหลักของจำนวนนับใดๆ หารด้วย 3 ลงตัวแล้ว

จงหาข้อสรุปเกี่ยวกับจำนวนนับดังกล่าวโดยใช้การให้เหตุผลแบบอุปนัย

วิธีทำ  พิจารณาจำนวนนับที่มีผลบวกของเลขโดดในแต่ละหลักหารด้วย 3 ลงตัว

จำนวนนับ	ผลบวกของเลขโดดในแต่ละหลัก	ผลหารของจำนวนนับด้วย 3
111	1+1+1   =     3	111 3      =      37
123	1+2+3   =     6	123 3      =      41
171	1+7+1   =     9	171 3      =      57
543	5+4+3   =   12	543 3      =    181
2,943	2+9+4+6  =   18	2,943 3     =     981
9,873	9+8+7+3  =   27	9,873  3     =  3,291
5,220	5+2+2+0  =     9	5,220 3     =  1,740

            ข้อสังเกต  เมื่อผลบวกของเลขโดดในแต่ละหลักหารด้วย 3 ลงตัว จำนวนดังกล่าวจะหารด้วย 3 ลงตัวเช่นกัน

            โดยใช้การให้เหตุผลแบบอุปนัย  สรุปได้ว่าจำนวนนับที่มีผลบวกของเลขโดดในแต่ละหลักหารด้วย 3 ลงตัว จำนวนนับดังกล่าวจะหารด้วย 3 ลงตัวเช่นกัน

อย่างไรก็ดีการหาข้อสรุปหรือความจริงโดยใช้วิธีการให้เหตุผลแบบอุปนัยนั้น ไม่จำเป็นต้องถูกต้องทุกครั้ง เนื่องจากเป็นการสรุปผลจากหลักฐานข้อเท็จจริงที่มีอยู่

            ดังนั้น ข้อสรุปจะเชื่อถือได้มากหรือน้อยเพียงใดนั้นขึ้นอยู่กับลักษณะของข้อมูล หลักฐานและข้อเท็จจริงที่นำมาอ้าง

            1) จำนวนข้อมูล  หลักฐาน หรือข้อเท็จจริงที่นำมาเป็นข้อสังเกต หรือข้ออ้างอิงมีมากพอกับการสรุปความหรือไม่  เช่น  ถ้าไปรับประทานอาหารที่ร้านแห่งหนึ่งแล้วเกิดท้องเสีย แล้วสรุปว่า อาหารที่ร้านดังกล่าวทำให้ท้องเสีย การสรุปจากเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นเพียงครั้งเดียว ย่อมจะน่าเชื่อถือได้น้อยกว่าไปรับประทานอาหารที่ร้านดังกล่าวบ่อยๆ แล้วท้องเสียแทบทุกครั้ง

            2) ข้อมูล  หลักฐานหรือข้อเท็จจริงเป็นตัวแทนที่ดีในการให้ข้อสรุปหรือไม่ เช่น ถ้าอยากรู้ว่าคนไทยชอบกินข้าวเจ้า หรือข้าวเหนียวมากกว่ากัน  ถ้าถามจากคนที่อาศัยอยู่ในภาคเหนือ หรือภาคอีสาน  คำตอบที่ตอบว่าชอบกินข้าวเหนียวอาจจะมีมากกว่าชอบกินข้าวเจ้า  แต่ถ้าถามคนที่อาศัยในภาคกลางหรือภาคใต้ คำตอบอาจจะเป็นในลักษณะตรงข้าม

            3) ข้อสรุปที่ต้องการมีความซับซ้อนมากน้อยเพียงใด เช่น ในเรื่องเกี่ยวกับจิตใจ ตัวอย่าง เช่น  การมีลูกชายจะดีกว่าการมีลูกสาว เป็นต้น ซึ่งความคิดในเรื่องดังกล่าวจะค่อนข้างซับซ้อนและขึ้นอยู่กับเหตุผลส่วนตัวของแต่ละคนซึ่งแตกต่างกัน

            สรุปว่า การให้เหตุผลแบบอุปนัย หมายถึงวิธีการสรุปผลในการค้นหาความจริงจากการสังเกตหรือการทดลองหลายครั้งจากกรณีย่อยๆ แล้วนำมาสรุปเป็นความรู้แบบทั่วไป