การบ้าน

ลำดับตอนที่ #1 : .....

รงสร้างของคณิตศาสตร์ประกอบด้วย 4 ส่วน ดังนี้

คำอนิยาม คำอนิยาม (undefined term) หมายถึงคำที่ไม่สามารถให้คำจำกัดความได้ แต่สามารถเข้าใจความหมายได้ โดยอาศัยการรับรู้จากประสบการณ์ ความคุ้นเคยกับคุณสมบัติของมัน เช่น จุด เส้น ระนาบ เป็นต้น

คำนิยาม คำนิยาม (defined term) หมายถึงคำที่สามารถให้คำจำกัดความได้ เช่น รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส วงกลม เส้นขนาน เป็นต้น

สัจพจน์ สัจพจน์ (postulate) หมายถึงข้อความที่ยอมรับหรือตกลงว่าเป็นจริงโดยไม่ต้องพิสูจน์ เช่น “เส้นตรงสองเส้นตัดกันที่จุดเพียงจุดเดียวเท่านั้น” “ลากเส้นตรงให้ผ่านจุดสองจุดที่แตกต่างกันได้เพียงเส้นเดียวเท่านั้น”

ทฤษฎีบท ทฤษฎีบท (theorem) หมายถึงข้อความที่สามารถพิสูจน์ได้ว่าเป็นจริง ซึ่งในการพิสูจน์อาจใช้คำอนิยาม คำนิยาม สัจพจน์ หรือทฤษฎีบทอื่น ๆ ที่ได้พิสูจน์มาแล้ว เช่น “มุมภายในรูปสามเหลี่ยมรวมกันเท่ากับ 180 องศา” “เส้นตรงสองเส้นตัดกันมุมตรงข้ามย่อมเท่ากัน”

3 ระบบคณิตศาสตร์ 

ระบบคณิตศาสตร์มีองค์ประกอบที่สำคัญ 2 ส่วน คือ โครงสร้างของคณิตศาสตร์ และ กระบวนการให้เหตุผล สำหรับโครงสร้างของคณิตศาสตร์ได้กล่าวมาแล้วในหัวข้อ 2 ในหัวข้อ 3 จะกล่าวถึงเฉพาะกระบวนการให้เหตุผล 

กระบวนการให้เหตุผล (reasoning) เป็นเครื่องมือที่มนุษย์ใช้แสวงหาความรู้ใหม่ ๆ โดยการนำเอาความจริงอย่างใดอย่างหนึ่งหรือหลายอย่างในระบบ ซึ่งเรียกว่า เหตุหรือข้อตั้ง (premise) มาวิเคราะห์แจกแจงแสดงความสัมพันธ์ เพื่อให้เกิดความจริงอันใหม่ขึ้น ซึ่งเรียกว่า ผล หรือ ผลสรุป หรือ ข้อยุติ (conclusion) 

กระบวนการให้เหตุผลแบ่งออกเป็น 2 ลักษณะดังนี้ 

1. การให้เหตุผลเชิงอุปนัย (inductive reasoning) เป็นการสรุปความรู้ใหม่ หรือสรุปผลการค้นหาความจริง โดยอาศัยข้อสังเกตหรือผลการทดลองหลาย ๆ ตัวอย่าง จากกรณีย่อย ๆ แล้วสรุปเป็นความรู้แบบทั่วไป ซึ่งผลสรุปที่ได้จากการให้เหตุผลแบบนี้ไม่ได้ถูกบังคับจากเหตุที่กำหนดให้ เนื่องจากเหตุแต่ละเหตุที่กำหนดให้หรือนำมาอ้างอิงเป็นอิสระต่อกัน 

ตัวอย่าง การให้เหตุผลเชิงอุปนัย 
ตัวอย่าง 1 จงหาพจน์ที่ n ของ 1, 3, 5, 7, 9, … พิจารณาแต่ละพจน์ของลำดับต่อไปนี้ 
พจน์ที่ 1 คือ 1 
พจน์ที่ 2 คือ 3 เขียนได้เป็น 1 + 2 
พจน์ที่ 3 คือ 5 เขียนได้เป็น 1 + 2 + 2 
พจน์ที่ 4 คือ 7 เขียนได้เป็น 1 + 2 + 2 + 2 
พจน์ที่ 5 คือ 9 เขียนได้เป็น 1 + 2 + 2 + 2 + 2 

จากการสังเกตจะเห็นว่า จำนวนของ 2 ที่บวกกับ 1 น้อยกว่าจำนวนที่แสดงลำดับที่ของพจน์อยู่ 1 
ดังนั้นพจน์ที่ 100 คือ 1 บวกด้วย 2 อีก 99 ตัว 
นั่นคือ พจน์ที่ 100 คือ 1 + (99 × 2) = 199 
ดังนั้น พจน์ที่ n หรือรูปทั่วไปของลำดับ จึงหาได้จาก 1 + (n – 1)2 = 2n – 1 
ดังนั้นลำดับ 1, 3, 5, 7, 9, … จึงเขียนเป็น 1, 3, 5, 7, 9, …, 2n – 1 

ตัวอย่าง 2 จากการสังเกตต้นมะพร้าวพบว่า 
ต้นที่ 1 “ไม่แตกกิ่ง” 
ต้นที่ 2 “ไม่แตกกิ่ง” 
ต้นที่ 3 “ไม่แตกกิ่ง” 
. . 
. . 
. .
ต้นที่ 100 “ไม่แตกกิ่ง” 
จากสิ่งที่สังเกตจึงสรุปว่า “ต้นมะพร้าวทุกต้นไม่แตกกิ่ง” 

โดยทั่ว ๆ ไป การให้เกตุผลแบบอุปนัย นิยมใช้ในการศึกษาค้นคว้าคุณสมบัติต่าง ๆ ทางวิทยาศาสตร์ เช่น ข้อสรุปที่ว่า “สารสกัดที่ได้จาดสะเดาสามารถใช้เป็นยากำจัดศัตรูพืชได้” เป็นข้อสรุปที่ได้จากการทดลองซ้ำกันหลาย ๆ ครั้ง แล้วได้ผลการทดลองตรงกัน หรือในทางคณิตศาสตร์จะใช้ในเรื่องการสร้างสัจพจน์ เช่น เมื่อทดลองลากเส้นตรงสองเส้นให้ตัดกัน จะพบว่า เส้นตรงสองเส้นจะตัดกันเพยงจุดเดียวเท่านั้น ไม่ว่าจะทดลองลากกี่ครั้งก็ตาม จึงสรุปได้ว่า เส้นตรงสองเส้นตัดกันเพียงจุดเดียวเท่านั้น 

2. การให้เหตุผลเชิงนิรนัย (deductive reasoning) เป็นการสรุปความรู้ใหม่ หรือ ข้อความจริงใหม่ ซึ่งเรียกว่าผลสรุปที่เป็นผลมาจากการนำข้อความที่กำหนดให้ซึ่งยอมรับว่าเป็นจริง ซึ่งเรียกว่าเหตุ ถ้าถ้าเหตุที่กำหนดให้บังคับให้เกิดผลสรุป แสดงว่า การให้เหตุผลดังกล่าวสมเหตุสมผล (valid) แต่ถ้าเหตุที่กำหนดให้ไม่สามารถจะบังคับให้เกิดผลสรุปได้ แสดงว่า การให้เหตุผลดังกล่าว ไม่สมเหตุสมผล (in valid) 

ตัวอย่าง การให้เหตุผลเชิงนิรนัย 

ตัวอย่าง 3 พิจารณาการให้เหตุผลต่อไปนี้ 

เหตุ
1. หมูเป็นสัตว์น้ำ 
2. สัตว์น้ำทุกชนิดออกลูกเป็นตัว 
ผลสรุป หมูออกลูกเป็นตัว 

การให้เหตุผลดังกล่าวเป็นการให้เหตุผลที่สมเหตุสมผล เนื่องจากเหตุแต่ละเหตุที่นำมาอ้างอิงบังคับให้เกิดผลสรุป 

ตัวอย่าง 4 พิจารณาให้เหตุผลต่อไปนี้ 

เหตุ
1. มนุษย์ทุกคนมีสองขา 
2.ผู้หญิงทุกคนมีสองขา 
ผลสรุป ผู้หญิงทุกคนเป็นมนุษย์ 

จากตัวอย่างนี้จะเห็นว่า ผลสรุปเป็นความจริง แต่เป็นการให้เหตุผลที่ไม่สมเหตุสมผลเพราะเหตุที่นำมาอ้างไม่สามารถบังคับให้เกิดผลสรุปดังกล่าวได้ เหตุแต่ละเหตุมีความเป็นอิสระไม่สัมพันธ์กันแต่ประการใด 

คณิตศาสตร์เป็นวิชาที่เกี่ยวกับความคิดรวบยอด มีลักษณะเป็นนามธรรม มีการกำหนดสัญลักษณ์ขึ้นใช้ซึ่งมีลักษณะเป็นภาษาสากล มีความเป็นศิลปะในตัวเอง และมีโครงสร้างที่ชัดเจนซึ่งประกอบด้วย คำอนิยาม คำนิยาม สัจพจน์ และทฤษฎีบท ซึ่งมนุษย์ได้นำคณิตศาสตร์ไปใช้ในชีวิตประจำวัน ตลอดถึงการนำไปใช้ในการประกอบอาชีพต่างๆ 

ระบบคณิตศาสตร์ประกอบด้วย โครงสร้างของคณิตศาสตร์ และกระบวนการให้เหตุผลซึ่งเป็นกระบวนการให้เหตุผลเชิงอุปนัย และนิรนัย 

รูปสามเหลี่ยม (อังกฤษ: triangle) เป็นหนึ่งในรูปร่างพื้นฐานในเรขาคณิต คือรูปหลายเหลี่ยมซึ่งมี 3 มุมหรือจุดยอด และมี 3 ด้านหรือขอบที่เป็นส่วนของเส้นตรง รูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอด A, B, และ C เขียนแทนด้วย  ABC

ในเรขาคณิตแบบยุคลิด จุด 3 จุดใดๆ ที่ไม่อยู่ในเส้นตรงเดียวกัน จะสามารถสร้างรูปสามเหลี่ยมได้เพียงรูปเดียว และเป็นรูปที่อยู่บนระนาบเดียว (เช่นระนาบสองมิติ)

ประเภทของรูปสามเหลี่ยม[แก้]

แบ่งตามความยาวของด้าน[แก้]

รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า (equilateral) มีด้านทุกด้านยาวเท่ากัน รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าเป็นรูปหลายเหลี่ยมมุมเท่า นั่นคือมุมภายในทุกมุมจะมีขนาดเท่ากัน คือ 60° และเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ [1]

รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว (isosceles) มีด้านสองด้านยาวเท่ากัน (ตามความหมายเริ่มแรกโดยยุคลิด ถึงแม้ว่ารูปสามเหลี่ยมด้านเท่าจะสามารถจัดว่าเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วได้ด้วย เพราะมีด้านที่ยาวเท่ากันอย่างน้อยสองด้าน) และมีมุมสองมุมขนาดเท่ากัน คือมุมที่ไม่ได้ประกอบด้วยด้านที่เท่ากันทั้งสอง [2]

รูปสามเหลี่ยมด้านไม่เท่า (scalene) ด้านทุกด้านจะมีความยาวแตกต่างกัน มุมภายในก็มีขนาดแตกต่างกันด้วย [3]

แบ่งตามมุมภายใน[แก้]

รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก (right, right-angled, rectangled) มีมุมภายในมุมหนึ่งมีขนาด 90° (มุมฉาก) ด้านที่อยู่ตรงข้ามกับมุมฉากเรียกว่า ด้านตรงข้ามมุมฉาก ซึ่งเป็นด้านที่ยาวที่สุดในรูปสามเหลี่ยม อีกสองด้านเรียกว่า ด้านประกอบมุมฉาก ความยาวด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากสัมพันธ์กันตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส นั่นคือกำลังสองของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก c จะเท่ากับผลบวกของกำลังสองของด้านประกอบมุมฉาก a, bเขียนอย่างย่อเป็น  ดูเพิ่มเติมที่ รูปสามเหลี่ยมมุมฉากพิเศษ

รูปสามเหลี่ยมมุมเฉียง (oblique) ไม่มีมุมใดเป็นมุมฉาก ซึ่งอาจหมายถึงรูปสามเหลี่ยมมุมป้านหรือรูปสามเหลี่ยมมุมแหลม

รูปสามเหลี่ยมมุมป้าน (obtuse) มีมุมภายในมุมหนึ่งมีขนาดใหญ่กว่า 90° (มุมป้าน)

รูปสามเหลี่ยมมุมแหลม (acute) มุมภายในทุกมุมมีขนาดเล็กกว่า 90° (มุมแหลม) รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมแหลม แต่รูปสามเหลี่ยมมุมแหลมทุกรูปไม่ได้เป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า

ข้อเท็จจริงเบื้องต้นเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมได้แสดงไว้ในหนังสือชื่อ Elements เล่ม 1-4 เมื่อประมาณ 300 ปีก่อนคริสตกาล รูปสามเหลี่ยมเป็นรูปหลายเหลี่ยมชนิดหนึ่ง และเป็น 2-ซิมเพล็กซ์ (2-simplex) รูปสามเหลี่ยมทุกรูปเป็นรูปสองมิติ

มุมภายนอก d เท่ากับมุมภายใน a รวมกับ c

มุมภายในของรูปสามเหลี่ยมในปริภูมิแบบยุคลิดจะรวมได้ 180° เสมอ ด้วยข้อเท็จจริงนี้ทำให้เราสามารถหาขนาดของมุมที่สาม เมื่อเราทราบขนาดของมุมแล้วสองมุม มุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยม (คือมุมที่อยู่ติดกับมุมภายใน โดยต่อความยาวด้านหนึ่งออกไป) จะมีขนาดเท่ากับมุมภายในที่ไม่ได้อยู่ติดกับมุมภายนอกรวมกัน สิ่งนี้เรียกว่าทฤษฎีบทมุมภายนอก มุมภายนอกทั้งสามจะรวมกันได้ 360° เช่นเดียวกับรูปหลายเหลี่ยมนูนอื่นๆ

ผลบวกของความยาวของสองด้านใดๆ ในรูปสามเหลี่ยม จะมากกว่าความยาวของด้านที่สามเสมอ สิ่งนี้เรียกว่าอสมการอิงรูปสามเหลี่ยม (กรณีพิเศษของการเท่ากันคือ มุมสองมุมถูกยุบให้มีขนาดเป็นศูนย์ รูปสามเหลี่ยมจะลดตัวลงเป็นเพียงส่วนของเส้นตรง)

รูปสามเหลี่ยมสองรูปจะเรียกว่า คล้ายกัน ก็ต่อเมื่อทุกมุมของรูปหนึ่ง มีขนาดเท่ากับมุมที่สมนัยกันของอีกรูปหนึ่ง ซึ่งในกรณีนี้ ด้านที่สมนัยกันจะเป็นสัดส่วน (proportional) ต่อกัน ตัวอย่างกรณีนี้เช่น รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มีมุมร่วมกันมุมหนึ่ง และด้านตรงข้ามมุมนั้นขนานกัน เป็นต้น

นอกจากนี้ยังมีสัจพจน์และทฤษฎีบทพื้นฐานเกี่ยวกับการคล้ายกันของรูปสามเหลี่ยมดังนี้

รูปสามเหลี่ยมสองรูปจะคล้ายกัน ถ้ามีมุมที่สมนัยกันอย่างน้อยสองมุมเท่ากัน

ถ้าด้านที่สมนัยกันสองด้านเป็นสัดส่วนต่อกัน และมุมที่ด้านทั้งสองประกอบอยู่สมภาค (congruent) ต่อกัน แล้วรูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นจะคล้ายกัน

ถ้าด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมสองรูปเป็นสัดส่วนต่อกัน แล้วรูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นจะคล้ายกัน

สำหรับรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สมภาคต่อกัน (หรือเรียกได้ว่า เท่ากันทุกประการ) ซึ่งหมายความว่ามุมและด้านมีขนาดเท่ากันทั้งหมด ก็ยังมีสัจพจน์และทฤษฎีบทเกี่ยวกับเรื่องนี้

สัจพจน์ ด้าน-มุม-ด้าน: ถ้าด้านสองด้านและมุมที่อยู่ระหว่างสองด้านนั้นสมภาคต่อกัน ดังนั้นรูปสามเหลี่ยมทั้งสองจะสมภาคต่อกัน

สัจพจน์ มุม-ด้าน-มุม: ถ้ามุมสองมุมและด้านที่อยู่ระหว่างสองมุมนั้นสมภาคต่อกัน ดังนั้นรูปสามเหลี่ยมทั้งสองจะสมภาคต่อกัน

สัจพจน์ ด้าน-ด้าน-ด้าน: ถ้าด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมสมภาคต่อกัน ดังนั้นรูปสามเหลี่ยมทั้งสองจะสมภาคต่อกัน

ทฤษฎีบท มุม-มุม-ด้าน: ถ้ามุมสองมุมและด้านที่ไม่อยู่ระหว่างสองมุมนั้นสมภาคต่อกัน ดังนั้นรูปสามเหลี่ยมทั้งสองจะสมภาคต่อกัน

ทฤษฎีบท ด้านตรงข้ามมุมฉาก-ด้านประกอบมุมฉาก (ฉาก-ด้าน-ด้าน): ถ้าด้านประกอบมุมฉากด้านหนึ่งและด้านตรงข้ามมุมฉากของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากสองรูปสมภาคกัน ดังนั้นรูปสามเหลี่ยมทั้งสองจะสมภาคต่อกัน

ทฤษฎีบท ด้านตรงข้ามมุมฉาก-มุม (ฉาก-มุม-ด้าน): ถ้าด้านตรงข้ามมุมฉากและมุมแหลมมุมหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากสองรูปสมภาคกัน ดังนั้นรูปสามเหลี่ยมทั้งสองจะสมภาคต่อกัน

เงื่อนไข ด้าน-ด้าน-มุม (มุม-ด้าน-ด้าน): ถ้าด้านสองด้านและมุมที่ไม่อยู่ระหว่างสองด้านนั้นสมภาคต่อกัน และถ้าหากมุมนั้นเป็นมุมป้าน นั่นคือด้านตรงข้ามยาวกว่าด้านประชิดมุม หรือด้านตรงข้ามเท่ากับไซน์ของมุมคูณด้วยด้านประชิดมุม ดังนั้นรูปสามเหลี่ยมทั้งสองจะสมภาคต่อกัน

ถึงแม้ว่ามุมทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมจะสมภาคกัน (มุม-มุม-มุม) เรายังไม่สามารถสรุปได้ว่ารูปสามเหลี่ยมทั้งสองสมภาคต่อกัน เพียงแค่คล้ายกัน

โปรดสังเกตต่อไปอีกว่า

เงื่อนไข ด้าน-ด้าน-มุม รับรองไม่ได้ว่ารูปสามเหลี่ยมจะสมภาคกันเสมอ

สำหรับทฤษฎีบท ด้านตรงข้ามมุมฉาก-ด้านประกอบมุมฉาก รูปสามเหลี่ยมจะต้องเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก หากไม่เช่นนั้นก็จะถูกจัดเป็นเงื่อนไขด้าน-ด้าน-มุม ซึ่งก็รับรองไม่ได้ว่ารูปสามเหลี่ยมจะสมภาคกัน

การใช้รูปสามเหลี่ยมมุมฉากและแนวคิดเรื่องความคล้าย ฟังก์ชันตรีโกณมิติอย่างไซน์และโคไซน์จึงถูกนิยามขึ้น ซึ่งเป็นฟังก์ชันของมุมที่ใช้ในการตรวจสอบเรื่องตรีโกณมิติ

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส (Pythagorean theorem) เป็นอีกทฤษฎีบทหนึ่งที่สำคัญ กล่าวว่าในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ กำลังสองของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก จะเท่ากับผลรวมของกำลังสองของความยาวของทั้งสองด้านที่เหลือ ถ้าด้านตรงข้ามมุมฉากยาว c หน่วย และด้านประกอบมุมฉากยาว aและ b หน่วย ดังนั้นทฤษฎีบทนี้จึงให้ความหมายว่า

บทกลับของทฤษฎีบทนี้ก็ยังคงเป็นจริง นั่นคือถ้าความยาวของด้านทั้งสามตรงตามเงื่อนไขในสมการข้างต้น ดังนั้นรูปสามเหลี่ยมนั้นจะเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

ข้อเท็จจริงอย่างอื่นที่เกี่ยวข้องกับรูปสามเหลี่ยมมุมฉากมีดังนี้

มุมแหลมสองมุมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเป็นมุมประกอบมุมฉาก (complementary angles)

ถ้าหากด้านประกอบมุมฉากมีขนาดเท่ากัน มุมแหลมสองมุมก็จะมีขนาดเท่ากันด้วยคือ 45° และจากทฤษฎีบทพีทาโกรัส ความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากจะมีขนาดเป็น √2 เท่าของด้านประกอบมุมฉาก

ถ้าหากมุมแหลมสองมุมมีขนาด 30° และ 60° ความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากจะมีขนาดเป็น 2 เท่าของด้านประกอบมุมฉากที่สั้นกว่า

สำหรับรูปสามเหลี่ยมทุกรูป ขนาดของด้านและมุมมีความสัมพันธ์กันตามกฎของไซน์และกฎของโคไซน์