นิยาย บทความคณิตศาสตร์ > ลำดับตอนที่ #98 : เอกนาม และ พหุนาม : Dek-D.com

ลำดับตอนที่ #98

ลำดับตอนที่ #98 : เอกนาม และ พหุนาม

เนื้อหานิยายตอนนี้เปิดให้อ่าน
2.59K

6

28 ส.ค. 52

นิยามคือเอกนามหรือผลบวกของเอกนามตั้งแต่สองเอกนามขึ้นไปโดยถือเอาดีกรีที่สูงที่สุดของเอกนามใน
พหุนามชุดนั้น ๆ เป็นดีกรีของพหุนาม

เอกนามคือจำนวนที่เขียนในรูปการคูณของค่าคงที่กับตัวแปรตั้งแต่ 1 ตัวขึ้นไป โดยที่เลขชี้กำลังของตัวแปรแต่ละตัวเป็นศูนย์หรือจำนวนเต็มบวก

จำนวนที่เป็นเอกนาม เช่น 5X3Y , 3-2AB , ab2c3 , 7

จำนวนที่ไม่ใช่เอกนาม เช่น 4X-3Y , n + 6 , 2a/3b

ดังนั้น เอกนามมี 2 ส่วน มี 1.ค่าคงที่ เรียกว่า สัมประสิทธิ์ของเอกนาม 2.ส่วนที่อยู่ในรูปการคูณของตัวแปร โดยเลขชี้กำลังของตัวแปร แต่ละตัวเป็นศูนย์ หรือจำนวนเต็มบวกเรียกผลบวกของเลขชี้กำลัง ของตัวแปรทั้งหมดในเอกนามว่า ดีกรีของเอกนาม เช่น ดีกรี คือ 10 ( เลขชี้กำลังของ X คือ 5, Y คือ 4 , Z คือ 1 ) และสัมประสิทธิ์คือ 29

แต่เอกนาม 0 จะบอกได้ไม่แน่นอน เนื่องจาก 0 = 0Xn โดยที่ X ไม่เท่ากับศูนย์ และ n เป็นจำนวนเต็มบวกหรือศูนย์ ดังนั้น ไม่กล่าวถึงดีกรีของ 0

เอกนามคล้าย คือ เอกนามตั้งแต่ 2 ชุดขึ้นไป ที่ตัวแปรเหมือนกัน และเลขชี้กำลังของตัวแปรทุกตัวเท่ากัน

การบวกและการลบเอกนาม
เอกนามที่จะนำมาบวกหรือลบกันจะต้องเป็นเอกนามคล้าย และจะนำเฉพาะสัมประสิทธิ์เท่านั้นมาบวกหรือลบกัน

เอกนามที่คล้ายกันสามารถนำมาบวกลบกันได้โดยสมบัติแจกแจง ดังนี้

ผลบวกของเอกนามคล้ายเท่ากับ (ผลบวกของสัมประสิทธิ์)ตัวแปรชุดเดิม

ผลลบของเอกนามคล้ายเท่ากับ (ผลลบของสัมประสิทธิ์)ตัวแปรชุดเดิม

การคูณหรือการหารเอกนาม
การคูณหรือการหารเอกนาม ใช้หลักการเดียวกันกับการคูณหรือการหารเลขยกกำลัง

กล้วยนั้นหากมีชิ้นเดียวเราเรียกว่าผล หากมีหลายผลก็เรียกว่าหวี เช่นเดียวกับ เอกนามด้วย 1 เอกนาม(ต่อไปนี้ของเรียกว่าพจน์) เรียกว่าเอกนาม หากหลายเอกนาม(พจน์)ก็เรียกว่าพหุนามนั่นเอง เช่น

จะเห็นไดว่าพหุนามเกิดจากผลบวกหรือลบของเอกนามไม่คล้า(หากคล้ายจะเป็นเอกนามชัวร์ๆ)

ดังนั้น เอกนามก็คือพหุนาม

ใน 1 พหุนามจะมีพจน์คล้ายๆ กัน เรียกว่าพจน์คล้านโดยนับที่จำนวนพจน์ หากเป็นวงเล็บก็นับเป็น 1 พจน์ โดยต้องอยู่ในรูปบวกและลบกันเท่านั้น เราเรียกพหุนามที่ไมีมีพจน์คล้ายว่า พหุนามในรูปผลสำเร็จ และถือว่าดีกรีสูงสุดของพจน์ในพหุนามถือว่าเป็น ดีกรีของพหุนาม ส่วนมากแล้วนิยมเรียงดีกรีจากมากไปหาน้อยและไม่นิยมให้ติดลบ

การคูณพหุนาม
1. การคูณเอกนามกับเอกนาม สามารถทำได้โดยใช้หลักเดียวกับการคูณเลขยกกำลัง เช่น (3x²y)(7xy) , (5xy²)(-2xyz)
2. การคูณเอกนามกับพหุนาม สามารถทำได้โดยการใช้คุณสมบัติการกระจาย
3.การคูณพหุนามด้วยพหุนามสามารถทำได้โดยการคูณทุกๆพจน์ของพหุนามหนึ่งด้วยทุกพจน์ของอีกพหุนามหนึ่ง แล้วนำผลคูณที่ได้มารวมกัน
รูปการคูณพหุนามที่สำคัญ
1. (หน้า + หน้า)² = (หน้า)² + 2(หน้า) * (หลัง) + (หลัง)²
2. (หน้า + หลัง)² = (หน้า)² – 2(หน้า) * (หลัง) + (หลัง)²
3. (หน้า + หลัง)³ = (หน้า)³ + 3(หน้า)² (หลัง) + 3(หน้า) * (หลัง)² + (หลัง)³
4. (หน้า – หลัง)³ = (หน้า)³ – 3(หน้า)²(หลัง) + 3(หน้า) * (หลัง)² – (หลัง)³
5. (หน้า + กลาง + หลัง)² = (หน้า)² + (กลาง)² + (หลัง)² + 2(หน้า) * (กลาง) +2(หน้า) * (หลัง) + 2(กลาง) * (หลัง)

การหารพหุนาม
1. การหารพหุนามด้วยเอกนาม สามารถทำได้โดยการใช้หลักการหารเลขยกกำลัง
1.1การหารพหุนามด้วยพหุนาม มีหลายวิธีดังนี้

วิธีที่ 1 วิธีตั้งหาร มีหลักดังนี้
1.เรียงกำลังของพหุนามทั้งตัวตั้งและตัวหารจากมากไปน้อย หรือจากน้อยไปมาก       2.นำพจน์แรกของตัวหารไปหารพจน์แรกของตัวตั้ง
3.นำผลลัพธ์จากข้อ 2 ไปคูณตัวหาร ได้เท่าไรเอาไปลบออกจากตัวตั้ง
4.นำพจน์แรกของตัวตั้งไปหารพจน์แรกของผลลัพธ์ที่ได้ในข้อ3
5.นำผลลัพธ์ที่ได้จากข้อ4ไปคูณตัวหารแล้วนำไปลบออกจากผลลัพธ์ที่ได้ในข้อ3
ทำกระบวนเช่นนี้ไปเรื่อยๆจนกว่าจะไม่สามารถหาผลหารที่เป็นเอกนามได้จึงจะถือว่าการหาร
เสร็จสิ้นแล้ว
วิธีที่ 2 วิธีหารแบบสังเคราะห์               2.นำสัมประสิทธิ์ของตัวตั้งเขียนเรียงตามกำลัง
ทำตัวหารเท่ากับศูนย์ หาค่า x
       3. ดึงสัมประสิทธิ์ตัวแรกของตัวตั้งที่เรียงไว้ในข้อ2ลงมา
       4.นำค่า x จากข้อ 3 ไปคูณข้อ 4 นำผลลัพธ์ที่ได้ใส่ให้ตรงกับสัมประสิทธิ์ตัวถัดไป
5. นำค่า x จากข้อ 3 ไปคูณผลลัพธ์ที่ได้จากข้อ 5 แล้วนำผลลัพธ์ที่ได้ใส่ให้ตรงกับสัมประสิทธิ์ตัวถัดไป แล้วรวมค่าทั้งสองเข้าด้วยกัน
6. ทำกระบวนการเช่นนี้ซ้ำไปเรื่อย ๆ ตัวเลขตัวสุดท้ายที่ได้คือ เศษของการหาร และตัวเลขก่อนหน้านี้คือ สัมประสิทธิ์ของผลลัพธ์
การหาเศษของการหารพหุนาม P(x) ด้วย x – a มีขั้นตอนดังนี้
1. นำตัวหาร X – a = 0 แก้สมการหาค่า x
2. นำค่า x = a จากข้อ 1 แทนใน P(x) ผลลัพธ์ที่ได้ คือ เศษของการหาร