บทความคณิตศาสตร์

ลำดับตอนที่ #82 : "พาย" ¶ อัศจรรย์แห่งการค้นหาจตุรัสวงกลมร่วม 3,500 ปี

"พาย" ¶ อัศจรรย์แห่งการค้นหาจตุรัสวงกลมร่วม 3,500 ปี

หากเปรียบเทียบการเป็นที่รู้จักระหว่าง "วันที่ 14 ก.พ." กับ "วันที่ 14 มี.ค." แล้ว วันแรกนับว่ามีภาษีดีกว่าเยอะเพราะเป็น "วันวาเลนไทน์" ที่มีคู่รักทั่วทุกมุมโลกพร้อมเฉลิมฉลองให้กับวันแสนหวานดังกล่าว หากแต่วันถัดไปในอีกเดือนก็มีความสำคัญยิ่งต่อนักคณิตศาสตร์ และผู้ที่สนใจในสัญลักษณ์ ¶ เพราะวันดังกล่าวคือ "พายเดย์"

นอกจากวันที่ 14 มี.ค.จะเป็นวันคล้ายวันเกิดของ "อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์" (Albert Einstein) นักวิทยาศาสตร์ที่เป็นไอคอนของวงการแล้ว ยังถือเป็น "วันพาย" (Pi Day) ที่มีการเฉลิมฉลองอัตราส่วนทางคณิตศาสตร์ ที่คนเราพยายามหาจุดสิ้นสุดทศนิยมของอัตราส่วนนี้ ซึ่งได้จากการหารความยาวของเส้นรอบวงกลมกับเส้นผ่านศูนย์กลาง โดยประมาณการคร่าวๆ ได้ค่าพายคือ 3.14 ดังนั้นจึงเป็นที่มาของอีกวันนี้ตามรูปแบบการเขียนวันของอเมริกันที่นับเดือนขึ้นก่อนวัน ซึ่ง 3.14 ก็หมายถึงเดือนมีนาคม วันที่ 14 นั่นเอง

จริงๆ แล้วค่าพายมีจำนวนที่มากมายกว่านั้น อย่างน้อยเราคงมีความอดทนพอที่ท่องค่าประมาณของพายได้ถึง 3.14159265 และยังมีทศนิยมต่อจากนั้นอีกมากซึ่งคาดว่าตำแหน่งสุดท้ายของพาย น่าจะสิ้นสุดในตำแหน่งที่ประมาณล้านล้านหลัก ทั้งนี้ พายเป็นอักษรกรีกลำดับที่ 16 อันเป็นค่าคงที่ทางคณิตศาสตร์ที่รู้จักกันอย่างกว้างขวาง และแม้หลายคนจะลืมบทเรียนเกี่ยวกับค่าพายไปแล้วแต่ก็ยังคงจดจำสัญลักษณ์ได้

ปกติในการฉลองวันพายนั้น นักเรียน คุณครูและผู้คนที่มีความสนใจในหลากหลายสาขาความรู้จะเรียนรู้เกี่ยวกับเรื่องพายและวงกลมในวันนี้ อีกทั้งหากโชคดีเขาเหล่านั้นก็จะได้กินพายหลายๆ ชนิดด้วย บางแห่งตั้งรางวัลสำหรับผู้ที่ท่องตำแหน่งค่าพายได้มากที่สุดหรือบางครั้งก็ให้รางวัลแก่ผู้ประดิษฐ์อุปกรณ์ช่วยจำที่น่าสนใจ

แม้ว่าพายจะเป็นตัวเลขหนึ่ง แต่ความสำคัญของจำนวนนี้ก้าวไกลไปกว่าการเป็นเพียงเรขาคณิตธรรมดาๆ พายเป็นตัวแทนของความลึกลับในเอกภพ เป็นพื้นฐานของคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ หากแต่สิ่งพื้นๆ นี้ก็กลายเป็นสิ่งที่ยากจะทำให้จบลงได้ง่ายๆ และเป็นเรื่องสำคัญยิ่งที่จะต้องรู้ว่าค่าพายคือเท่าไหร่เพราะจำนวนทศนิยมของมันได้ไหลไปสู่อนันต์

ขณะที่มีจำนวนมากมายในทางคณิตศาสตร์ที่มีค่าเป็นอนันต์ แต่พายกลับเป็นค่าเพียงหนึ่งเดียวที่เป็นตัวอย่างอุดมคติในความไม่สิ้นสุด ความเรียบง่ายของวงกลมที่มีความยาวแน่นอนถูกคลี่ออกมาสู่ค่าเชิงซ้อนที่ไม่สิ้นสุด ความขัดแย้งดังกล่าวกลายเป็นแรงขับให้ผู้คนมากมายสนใจในตัวเลขนี้

ทั้งนี้ความหลงใหลและอดทนมนุษยชาติได้พยายามมาเป็นเวลาร่วม 3,500 ปีแล้ว ที่จะไขปริศนาของพายซึ่งถูกเรียกว่าเป็น "จตุรัสแห่งวงกลม" (squaring the circle) ด้วยการหาอัตราส่วนที่แท้จริงของเส้นรอบวงกับเส้นผ่านศูนย์กลางวงกลม แต่ไม่ว่าผู้คนจะพยายามมากแค่ไหนสิ่งที่พวกเขาหาได้ก็เป็นเพียงแค่ค่าประมาณตัวใหม่เท่านั้นเอง

อาร์คิมิดิส (Archimedes) นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกผู้ยิ่งใหญ่ได้พยายามอย่างไม่รู้สึกเหน็ดเหนื่อย ที่จะค้นหาอัตราส่วนที่แท้จริงของวงกลม แต่เขาก็ได้พบเพียงจำนวนไม่กี่ตัวที่ถูกต้อง เมื่อเขาพยายามจะหยุดทหารโรมันที่กำลังจะสร้างความเสียหายต่องานดังกล่าวของเขา ด้วยการตะโกนว่า "อย่าแตะต้องวงกลมของข้า" แต่เขากลับโดนถูกสังหารโดยไม่รีรอ

ทางด้าน ลูดอล์ฟ ฟาน คอยเลน (Ludolph van Ceulen) นักคณิตศาสตร์เชื้อสายเยอรมันซึ่งเสียชีวิตเมื่อปี 2153 ก็ใช้เวลาหลายปีในชีวิตเพื่อคำนวณหาค่าพายอย่างน่าเบื่อหน่าย และได้ผลออกมาเป็นค่าพายที่แม่นยำเพียง 35 ตำแหน่งเท่านั้น ส่วน วิลเลียม แชงก์ส (William Shanks) ที่ประกาศในปี 2416 ว่าพบค่าพาย 707 ตำแหน่งจากการคำนวณด้วยมือ แต่ปรากฏว่าหลังตำแหน่งที่ 527 เป็นต้นไปเป็นตัวเลขที่ผิดทั้งหมด

ความพยายามล่าสุดของนักวิทยาศาสตร์ด้านคอมพิวเตอร์ชาวญี่ปุ่นเมื่อปี 2545 พบจำนวนของพาย 1.24 ล้านล้านตำแหน่ง แม้ว่านักดาราศาสตร์ฟิสิกส์จะไม่ต้องการตัวเลขที่แม่นยำมากไปกว่า 10-15 ตำแหน่ง แต่นักคณิตศาสตร์เชื่อว่าหากสามารถหารูปแบบของพายได้ก็จะนำไปสู่การค้นพบที่ยิ่งใหญ่ในความเข้าใจเกี่ยวกับเอกภพของเราได้

นักฟิสิกส์อย่างคาร์ล ซาแกน (Carl Sagan) ซึ่งแต่งนิยายเรื่อง "คอนแทค" (Contact) ก็จินตนาการถึงเวลาที่นักวิทยาศาสตร์บนโลกสามารถแก้ค่าพาย เพื่อค้นสารที่ซ่อนอยู่ในสิ่งมีชีวิต ซึ่งเป็นจุดเริ่มต้นของการก้าวกระโดดสู่การรับรู้ในเอกภพที่ยิ่งใหญ่ ทั้งนี้หากจะซ่อนสารที่เป็นตัวเลขอันยาวเฟื้อยสักตัวลงในโครงสร้างความเป็นจริงของเราแล้วก็ดูเหมาะสมที่จะเป็น "พาย"

กระนั้นดูเหมือนพายก็ยังคงทำให้เราไม่สมหวังเสียที ในช่วงปลายศตวรรษที่ 19 พายได้รับการพิสูจน์ว่ามีความยาวไม่สิ้นสุด และไม่สามารถแก้ได้ด้วยจำนวนจำกัด (finite number) ของสมการ แต่เรื่องดังกล่าวก็ไม่หยุดผู้พยายามค้นหาค่าพายในยุคนี้ ซึ่งอ้างว่านักคณิตศาสตร์ได้ทำผิดพลาด และแท้จริงแล้วพายมีค่าเพียง 3 หรือ 3.25 หรือจำนวนจำกัดอื่นแต่เป็นคำตอบที่ผิด

สำหรับวันพายนั้นไม่ใช่เพียงเป็นเพียงการสรรเสริญจำนวนหรือความหลงใหลในจำนวนทางคณิตศาสตร์เท่านั้น แต่ยังเป็นการให้เกียรติแก่ความจริงพื้นฐานที่เราไม่สามารถรู้ได้ ทำได้เพียงเข้าใกล้ที่จะรู้เท่านั้น

พายแสดงตัวอยู่ในทุกแห่ง ทางคณิตศาสตร์พายปรากฏตัวในสมการพื้นฐานต่างๆ ที่เกี่ยวกับวงกลม ในทางวิทยาศาสตร์พายคือสิ่งที่แยกไม่ออกจากการคำนวณในทุกสิ่งตั้งแต่คลื่นมหาสมุทรไปจนถึงความมั่นคงทางเศรษฐกิจ เรายังพบพายในในการวัดมหาปิรามิดกิซา (Giza) อันยิ่งใหญ่ และถ้าหากเราหารความยาวของแม่น้ำตั้งแต่ต้นกำเนิดจนถึงปากแม่น้ำด้วยระนาบความเอียงของแม่น้ำเราก็จะพบพาย

แม้แต่ในแหล่งที่ไม่คาดคิดว่าจะมีค่าพายปรากฏอยู่ก็ยังมี ผู้มีความรู้ด้านศาสนาระบุพระคัมภีร์ศาสนาคริสต์นั้นแสดงเป็นนัยว่าพายมีค่าเท่ากับ 3 จากการวัดวิหารโซโลมอน (Solomon's Temple) หรือนักเขียนเจ้าของรางวัลโนเบลสาขาวรรณกรรมอย่าง วิสลาวา ซิมบอร์สกา (Wislava Szymborska) ก็เขียนบทกวีเกี่ยวกับพาย แม้แต่นักร้องเพลงป็อปอย่าง เคท บุช (Kate Bush) ก็มีเพลงชื่อ "พาย" ที่เธอขับร้องค่าพายถึง 100 ตำแหน่งในอัลบัม "แอเรียล" (Aerial)

มาถึงในยุคที่เต็มไปด้วยเครื่องมือไฮเทคที่มีความแม่นยำสูง ซึ่งเราอาจอนุมานเอาเองว่าได้บรรลุถึงความสมบูรณ์แล้ว แต่พายก็ยังคงอยู่ บางครั้งอาจเพื่อเตือนใจว่ามีทั้งปริศนาที่สามารถที่ไขได้และก็มีความลึกลับที่บางครั้งอาจจะไขไม่ได้

ที่มาข้อมูล : www.manager.co.th