บทความคณิตศาสตร์

ลำดับตอนที่ #30 : ปัญหา Kepler

หลายๆ คนคงคาดไม่ถึงหากจะบอกว่า วิธีการที่แม่ค้าใช้ในการเรียงส้มขายนั้น นักคณิตศาสตร์ต้องใช้เวลาถึง 387 ปี จึงสามารถพิสูจน์ได้ว่ามันเป็นวิธีที่มีประสิทธิภาพมากที่สุดในการบรรจุส้มลงกล่องให้ได้จำนวนมากที่สุด

ประวัติวิชาคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวกับปัญหาการเรียงวัตถุทรงกลมที่มีขนาดเท่ากันลงในภาชนะให้ได้จำนวนมากที่สุดนี้ถือกำเนิดเมื่อ Sir Walter Releigh ผู้เป็นนักสำรวจและนายทหารที่มีชื่อเสียงในรัชสมัยของพระราชินี Elizabeth ที่ 1 แห่งกรุงอังกฤษได้ถาม Thomas Hariot ว่านักคณิตศาสตร์มีสูตรคณิตศาสตร์ใดๆ หรือไม่ที่จะใช้บอกจำนวนลูกกระสุนปืนใหญ่ในกล่องได้อย่างรวดเร็ว แทนที่จะใช้วิธีนับตรงๆ หรือในมุมมองตรงกันข้าม หากมีการกำหนดขนาดของกล่องสำหรับบรรจุกระสุนปืนใหญ่มาให้ นักคณิตศาสตร์มีวิธีที่สามารถบรรจุลูกกระสุนปืนใหญ่ลงในกล่องให้ได้จำนวนมากที่สุด หรือไม่ Hariot จึงได้เขียนจดหมายถึง Johannes Kepler เพื่อถามปัญหานี้

อัน Kepler ที่โลกรู้จักนั้นเป็นนักคณิตศาสตร์ชาวออสเตรีย ที่ได้พบว่าวงโคจรของดาวเคราะห์ต่างๆ ในสุริยจักรวาลรอบดวงอาทิตย์มีลักษณะเป็นวงรีหาใช่วงกลม แต่ Kepler นอกจากจะสนใจวิทยาศาสตร์แล้ว เขายังสนใจวิชาเรขาคณิตมากด้วย

เขาจึงได้เริ่มศึกษาปัญหาอย่างจริงจังในปี ค.ศ.1611 และหลังจากที่ได้ทดลองเรียงลูกกระสุนปืนใหญ่หลายรูปแบบ Kepler ก็ได้คำนวณพบว่า หากเขาเรียงให้ลูกกระสุนปืนใหญ่แต่ละลูกแตะสัมผัสลูกกระสุนอื่นๆ อีก 6 ลูก (แบบเดียวกับที่เขาเรียงลูกแดงเวลาจะเริ่มเล่นบิลเลียด) และเมื่อเรียงลูกกระสุนจนเต็มชั้นล่างแล้ว Kepler ก็ได้พบว่าในการเรียงชั้น 2 ก็ให้วางลูกกระสุนปืนใหญ่ลงเหนือรอยบุ๋มระหว่างลูกกระสุนที่วางเรียงรายอยู่ชั้นล่าง ดังนั้น รูปแบบการเรียงของลูกกระสุนปืนในชั้นที่ 2 นี้ก็จะเหมือนการเรียงของลูกกระสุนชั้นแรกทุกประการ เพียงแต่ลูกกระสุนชั้น 2 นี้ได้เลื่อนตำแหน่งไปจากชั้นแรกประมาณครึ่งลูกเท่านั้นเอง และหากกระทำซ้ำสำหรับชั้นที่ 3, 4…. ไปเรื่อยๆ Kepler ได้พบว่าการเรียงลูกกระสุนปืนใหญ่ลักษณะนี้ (นักคณิตศาสตร์เรียกการเรียงรูปแบบนี้ว่า face centered cubic) เป็นวิธีที่จะทำให้ความหนาแน่นในการบรรจุลูกกระสุนปืนใหญ่ลงกล่องมีค่าสูงสุด คือมากถึง 74.05% นั่นหมายความว่าจากปริมาตร 100 ลูกบาศก์เมตรที่กำหนดให้การเรียงทรงกลมแบบ face centered cubic จะทำให้เรามีปริมาตรเพียง 25.95 ลูกบาศก์เมตรเท่านั้น ที่เป็นที่ว่าง ซึ่งเป็นที่ว่างที่มีปริมาตรน้อยที่สุด

แต่เราจะรู้ได้อย่างไรว่า วิธีที่ Kepler คิดนั้นเป็นวิธีที่ดีที่สุดในการเรียงทรงกลม ก็ในเมื่อรูปแบบการเรียงมีมากมายนับไม่ถ้วนคือทั้งที่เป็นระเบียบและที่สะเปะสะปะ แล้วเราจะพิสูจน์ได้อย่างไรว่า รูปแบบทุกรูปแบบที่ใครๆ คิดนั้นต่างก็จะเรียงทรงกลมได้หนาแน่นน้อยกว่ารูปแบบที่ Kepler คิดทั้งสิ้น

ตัว Kepler เองมั่นใจว่าวิธีของเขาเป็นวิธีที่ดีที่สุด แต่เขาไม่มีวิธีพิสูจน์

นักฟิสิกส์เองก็รู้อยู่ในอกว่า วิธีที่ Kepler คิดนั้นมีประสิทธิภาพสูงสุดในการบรรจุทรงกลมลงกล่อง แต่ก็ไม่มีวิธีพิสูจน์อีกเช่นกัน ส่วนนักคณิตศาสตร์เองก็ยังไม่ยอมรับว่าวิธีของ Kepler นั้นดีที่สุดจนกว่าวิธีนี้ได้รับการพิสูจน์ว่าดีกว่าวิธีอื่นๆ ทั้งอสงไขยรูปแบบ ดังนั้นเราจึงไม่ต้องถามหรือสงสัยให้เสียเวลาว่าเหตุใดปัญหา Kepler จึงได้สยบสมองของอัจฉริยะต่างๆ ทางคณิตศาสตร์มานานกว่า 3 ศตวรรษ

ความยากลำบากในการพิสูจน์ปัญหา Kepler นี้ ได้ทำให้ D. Hilbert นักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่ของโลกคนหนึ่งในปี ค.ศ.1900 ติดอันดับปัญหานี้ว่าเป็น 1 ใน 23 ปัญหาที่ยากที่สุดในโลก

เมื่อสมองของนักคณิตศาสตร์ไม่สามารถจะแก้ปัญหานี้ได้ ในปี ค.ศ.1953 Laszio Fejes Toth ได้เสนอแนะให้มีการแก้ปัญหานี้โดยใช้คอมพิวเตอร์

ในปี ค.ศ.1975 Buckminster Fuller วิศวกรผู้ออกแบบโดมกลมแบบ geodesic อ้างว่าเขาสามารถพิสูจน์ปัญหา Kepler ได้ แต่ก็ได้รับการพิสูจน์ในเวลาต่อมาว่าวิธีพิสูจน์ของเขาไม่ถูกต้อง

ปัญหา Kepler จึงเป็นปัญหาที่ยาก "พอๆ" กับปัญหา Fermat และแล้วในปี ค.ศ.1993 Wu-Yi Hsiang ก็ได้ทำให้วงการคณิตศาสตร์ตกตะลึงเมื่อเขาอ้างว่าเขาสามารถพิสูจน์ปัญหาของ Kepler ได้

แต่เมื่อผู้เชี่ยวชาญได้ตรวจรายงานการวิจัยของ Hsiang ที่มีความหนาร่วม 100 หน้า และได้พบว่ามีจุดบกพร่อง Hsiang จึงต้องกลับไปทบทวนวิธีพิสูจน์ใหม่ แต่ถึงแม้ Hsiang จะได้แก้ไขจุดบกพร่องแล้ว และวิธีการพิสูจน์ของเขาในภาพรวมก็ยังหาได้เป็นที่ยอมรับไม่ เพราะผู้เชี่ยวชาญหลายคนมีความเห็นว่า Hsiang ได้ใช้สมมติฐานหลายข้อในการพิสูจน์ และ Hsiang ก็ยังไม่ได้พิสูจน์สมมติฐานเหล่านั้นว่ามันเป็นจริง เมื่อเป็นเช่นนี้ Hsiang ก็ต้องยอมรับว่า เขายังแก้ปัญหา Kepler ไม่ได้

และเมื่อเดือนสิงหาคม ค.ศ.1998 Thomas C. Hales นักคณิตศาสตร์แห่งมหาวิทยาลัย Michigan ที่ Ann Arbor ในสหรัฐอเมริกาได้ประกาศว่าเขาสามารถพิสูจน์ปัญหา Kepler ได้ หลังจากที่ได้ขับสู้ปัญหานี้มานานร่วม 10 ปี งานวิจัยของ Hales ที่มีความยาว 250 หน้า ได้ถูกแบ่งออกเป็น 5 ตอน และใช้วิธีคำนวณหลายสไตล์ แต่วิธีหลักที่ Hales ใช้ก็คือวิธีของ Laszlo Fejes-Toth ซึ่งได้พิจารณาการจัดเรียงทรงกลมประมาณ 50 ลูกในทุกรูปแบบเท่าที่คอมพิวเตอร์จะคิดได้ และจากแต่ละรูปแบบ Hales ก็คำนวณอัตราส่วนระหว่างปริมาตรที่ว่าง : ปริมาตรทั้งหมด จากทรงกลมจำนวน 50 ลูกที่นำมาพิจารณานี้ ทำให้ Hales มีตัวแปร 150 ตัว ปัญหาธรรมดาๆ ใน 3 มิติ ก็เป็นปัญหาพระกาฬใน 150 มิติทันที และเมื่อเงื่อนไขบังคับความเป็นไปได้ของตัวแปรมีร่วม 2,000 เงื่อนไข การหาค่ามากที่สุดหรือน้อยที่สุดของปริมาตรก็ยิ่งยากขึ้นเป็นทวีคูณ

วิธีการที่ Hales ใช้ในการคำนวณ ปัญหานี้จึงแตกต่างจากวิธีธรรมดาๆ ที่นักคณิตศาสตร์ทั่วไปใช้คือ Hales ใช้คอมพิวเตอร์ในการพิสูจน์ โดยเขาได้เขียนโปรแกรมคำนวณ และแสดงโปรแกรมทุกโปรแกรมใน Website เพื่อให้ผู้สนใจได้ศึกษา และบัดนี้วงการคณิตศาสตร์ก็ได้ยอมรับแล้วว่า Hales เป็นผู้พิสูจน์ปัญหา Kepler ได้

แต่นักคณิตศาสตร์หลายท่านก็ยังไม่สุขใจกับวิธีพิสูจน์นี้นัก เพราะนักคณิตศาสตร์เหล่านี้อ้างว่าวิธีพิสูจน์ที่ดีนั้น นอกจากจะให้คำตอบแล้วยังต้องให้แนวคิดใหม่ด้วย แต่ Hales ได้พิสูจน์ทฤษฎีบทนี้โดยใช้คอมพิวเตอร์ จึงไม่มีใครซึ้งในวิธีพิสูจน์ของเขาเลย

ดังนั้น Hales ตั้งใจไว้ว่าจะแก้ปัญหาการบรรจุทรงกลมลงกล่องใน 3 มิติให้เรียบร้อย จากนั้นก็จะขยับขยายการศึกษาปัญหา Kepler ไปใน 4, 5, 6….มิติ และก็ได้พบว่าวิธีการจัดส้มขนาดเท่าๆ กันลงกล่อง 4, 5, 6, 7, 8 มิตินั้น ง่ายกว่าการจัดส้มลงกล่อง 3 มิติ