บทความคณิตศาสตร์

ลำดับตอนที่ #15 : ลำดับเลขฟีโบนักชี

ลำดับเลข ฟีโบนักชี (Fibonacci numbers) เป็นลำดับเลขที่มีชื่อเสียงมากที่สุดแบบหนึ่งในประวัติศาสตร์ ซึ่งถูกคิดค้นขึ้นโดยนักคณิตศาสตร์ชาวอิตาเลียนชื่อ เลโอนาร์โด ฟีโบนักชี (Leonardo Fibonacci) แห่งเมื่องปิซา เมื่อศตวรรษที่สิบสาม เลขฟีโบนักชีสามารถเขียนเป็นอนุกรมได้ดังนี้คือ

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, x, y, x+y, …

(ตัวเลขตำแหน่งที่ n เท่ากับตัวเลขตำแหน่งที่ n-1
บวกกับตัวเลขตำแหน่งที่ n-2 หรือ X_n = X_n-1 + X_n-2)

เมล็ดของดอกทานตะวัน ในวงที่มีเกลียวการหมุนตามเข็มนาฬิกา มีจำนวนทั้งสิ้น 55 เมล็ด (เครื่องหมายสีแดง) ในขณะที่วงที่มีเกลียว การหมุนทวนเข็มนาฬิกา มีจำนวนทั้งสิ้น 89 เมล็ด (เครื่องหมายสีเขียว) (โดยที่ทั้ง 55 และ 89 ต่างก็สอดคล้องกับลำดับเลขฟีโบนักชี)

ต้นตะบองเพชร ที่มีลักษณะการจัดเรียงตัวของปุ่มหนามสอดคล้องกับเลขฟีโบนักชี โดยมีวงเกลียวของปุ่มหนามที่หมุนตามเข็มนาฬิกา 3 วง (เส้นสีแดง) และมีวงเกลียวที่หมุนทวนเข็มนาฬิกาจำนวน 5 วง (เส้นสีเหลือง) โดยที่ 3 และ 5 ก็คือลำดับเลขฟีโบนักชี

ความยาวของกระดูกนิ้วมือแต่ละข้อ จะมีอัตราส่วนเรียงตามลำดับเลขฟีโบนักชี

เกลียวการหมุน ของยอดปุ่มของกะหล่ำดอกพันธุ์โรมาเนตโก (Roma-nesco) มีความสอดคล้องกับเลขฟีโบนักชีเช่นเดียวกัน

จนกระทั่งเมื่อไม่นานมานี้ ลำดับเลขฟีโบนักชี ได้เข้ามาสู่โลกของนาโนเทคโนโลยีแล้ว เมื่อนักวิทยาศาตร์จาก Lawrence Berkeley National Laboratory ในแคลิฟอร์เนีย ได้ร่วมมือกับนักวิทยาศาสตร์จาก Ames Laboratory แห่ง Iowa State University ในการใช้อุปกรณ์ ทางด้านนาโนเทคโนโลยี มาทำการศึกษาเกี่ยวกับเรื่องแรงเสียดทาน ที่เกิดขึ้นในระดับของอะตอม โดยการใช้กล้องสแกนนิ่งทัลเนลลิ่งเอสทีเอ็ม (Scanning tunneling microscope, STM) ถ่ายภาพลักษณะการจัดเรียงตัว ของอะตอมบนผิวหน้าของผลึกสังเคราะห์ และใช้กล้อง อะตอมิกฟอร์ซไมโครสโคปหรือเอเอฟเอ็ม (Atomic force microscope, AFM) ในการวัดแรงเสียดทาน ที่เกิดขึ้นระหว่างหัวเข็มของกล้อง AFM กับอะตอมบนผิวหน้าผลึก ที่มีการจัดเรียงอะตอมแตกต่างกัน

ซึ่งจากการทดลองพบว่าแรงเสียดทาน ที่วัดได้จากการจัดเรียงตัว ของอะตอมแบบคาบซ้ำ (periodic) จะมีค่าสูงกว่า การจัดเรียงตัวของอะตอมแบบไม่เป็นคาบซ้ำ (aperiodic) ถึง 8 เท่า! โดยการศึกษา เกี่ยวกับแรงเสียดทานที่เกิดขึ้น ในระดับอะตอมนี้จะทำให้ นักวิทยาศาสตร์เข้าใจธรรมชาติ ของแรงเสียดทานและสมบัติทางด้านนาโนไทรโบโลยี (nanotribology) เช่น การสึกหรอ การเสียดสี หรือการหล่อลื่น ที่เกิดขึ้นบริเวณผิวหน้าของสสารต่างๆ ในระดับนาโนเมตรมากขึ้น

นอกจากนี้ ทีมนักวิจัยชาวจีนที่นำโดย Zexian Cao แห่ง Chinese Academy of Sciences ในกรุงปักกิ่ง ได้ทำการศึกษาเกี่ยวกับแรงเครียด (stress) ของทรงกลมขนาดเส้นผ่านศูนย์กลาง 10 ไมโครเมตร ที่มีแกนกลางเป็นเงิน และมีเปลือกหุ้มเป็นซิลิกอนออกไซด์หนา 150 นาโนเมตร เมื่อให้ความเย็น จะพบว่าเปลือกหุ้มซิลิกา ที่อยู่ด้านนอกจะมีการหดตัว มากกว่าแกนกลางที่เป็นเงิน ซึ่งจะส่งผลทำให้ ซิลิกาหดตัวกลายเป็นเม็ดทรงกลมขนาดเล็ก จับอยู่บริเวณผิวหน้าของแกนกลาง โดยเม็ดซิลิกา จะมีลักษณะการจัดเรียงตัว เป็นวงเกลียวที่มีความสอดคล้องกับลำดับเลขฟีโบนักชี ยกตัวอย่างเช่น ทรงกลมที่มีเปลือกหุ้มขนาดเส้นผ่านศูนย์กลาง 9.5 ไมโครเมตร จะมีเม็ดซิลิกาอยู่ที่ผิวจำนวน 92 เม็ด ที่มีการเรียงตัวเป็นวงเกลียว ตามเข็มนาฬิกา 8 เส้น และทวนเข็มนาฬิกา 5 เส้น (โดยที่ทั้ง 5 และ 8 ต่างก็สอดคล้องกับลำดับเลขฟีโบนักชี) หรือทรงกลม ที่มีเปลือกหุ้มขนาดเส้นผ่านศูนย์กลาง 18 ไมโครเมตร จะมีเม็ดซิลิกาจำนวน 230 เม็ด เรียงตัวเป็นวงเกลียวตามเข็มนาฬิกา 21 เส้น และทวนเข็มนาฬิกา 13 เส้น (โดยที่ทั้ง 13 และ 21 สอดคล้องกับลำดับเลขฟีโบนักชี)

รูปประกอบ A, B และ C แสดงให้เห็นถึงลักษณะ การจัดเรียงตัว ของเม็ดทรงกลม ขนาดเล็กของซิลิกา ที่อยู่บนผิวหน้าของแกนกลางที่เป็นเงิน โดย รูป A แสดงให้เห็นการเรียงตัว ของเม็ดซิลิกา เป็นเส้นโค้งที่หมุนตามเข็มนาฬิกา จำนวน 8 เส้น รูป B แสดงให้เห็นการเรียงตัวเป็นเส้นโค้ง ที่หมุนทวนเข็มนาฬิกาจำนวน 5 เส้น รูป C เป็นการสมมุติว่า จุดที่มีเครื่องหมายบอกตำแหน่ง เป็นจุดสิ้นสุดของวงเกลียว ซึ่งจะพบว่าเม็ดซิลิกา จะมีวงเกลียวทวนเข็มนาฬิกาจำนวน 13 เส้น และมีวงเกลียวตามเข็มนาฬิกาจำนวน 21 เส้น ซึ่งเป็นลักษณะที่เหมือน กับการเรียงตัวของเกสรดอกตะบองเพชร Mammillaria nejapensis ใน รูป D

ปุ่มของลูกสน มีการจัดเรียงตัวเป็นเกลียวที่มีจำนวนปุ่มตรงกับเลขฟีโบนักชี

เมล็ดดอกทานตะวัน มีการจัดเรียงตัวเป็นเกลียวที่หมุนตามเข็มนาฬิกา และทวนเข็มนาฬิกา โดยที่จำนวนเมล็ดที่อยู่ในเกลียว แต่ละเกลียวจะตรงกับเลขฟีโบนักชี