ลำดับตอนที่ #25
คืนค่าการตั้งค่าทั้งหมด
คุณแน่ใจว่าต้องการคืนค่าการตั้งค่าทั้งหมด ?
ลำดับตอนที่ #25 : สนุกกับคณิตศาสตร
เชื่อมเกาะกับเมืองด้วยเส้นตรง
น้อยคนนักที่จะเห็นว่าวิชาคณิตศาสตร์นี่สนุก ส่วนมากแล้วพอบอกว่าจะต้องเรียนคณิตศาสตร์ ทุกคนก็เริ่ม ทำหน้าเสียกันแล้วใช่ไหมครับ มันมีหลายเหตุผลที่จะทำให้คนเราเกลียดบางสิ่งบางอย่างได้ เหตุผลหลักก็คงจะเป็นที่ ได้รับประสบการณ์ที่ไม่ดีกับวิชาคณิตศาสตร์ เช่น คุณครูวิชานี้ดุมาก เลยไม่อยาก ไปเจอหน้าคุณครูเลย หรือไม่ก็เจอหัวข้อที่ฟังเท่าไรก็ไม่เข้าใจ เพราะมันมีแต่ตัว เอกซ์ ตัว วาย อะไรก็ไม่รู้เต็มกระดานไปหมด หลายๆคนก็เลยเกิดอาการกลัววิชาคณิตศาสตร์ขึ้นมา แต่ความจริงแล้วนะครับ มันก็ยังมีอีกหลายส่วน ของวิชาคณิตศาสตร์ ที่ทั้งสนุก และ ง่ายต่อการเข้าใจ และ ที่สำคัญเอาไปใช้ประโยชน์ได้เยอะมากๆด้วย ก่อนอื่นก็จะเล่านิทานที่มาที่ไปของวิชานี่สักหน่อยนะครับ ก็สมัยเมื่อสัก 200 กว่าปีมาแล้วก็มีกระทาชายนายหนื่งชื่อว่า Leonhard Euler อาศัยอยู่ในเมือง Konigsberg ในเมืองนี้ก็มีเกาะสองเกาะตั้งอยู่กลางแม่น้ำ Pregel และ มีสะพานเชื่อมเกาะท้ังสองกับฝั่ง ดังในรูปนะครับ
ด้วยความที่เป็นคนช่างคิดช่างสงสัย ประจวบกับการที่ต้องเดินไปมา ระหว่างเกาะทั้งสองนี้ ก็เลยตั้งคำถาม ถามตัวเองขึ้นมาว่า มันเป็นไปได้หรือไม่ที่จะเดินผ่านเมืองท้ั้งสีี่ โดยเดินข้ามสะพานทุกสะพาน สะพานละหนื่งคร้ัง แล้วก็กลับมายังจุดเริ่มต้น เอาละสิสงสัยนายคนนี้จะบ้าหรืิอเปล่าอยู่ดีไม่ว่าดี ก็ถามคำถามไร้สาระขึ้นมา แล้วคำถามก็ไม่ใช่ว่า จะเข้าใจง่ายๆเลยด้วย เอาอย่างนี้ละกัน หยิบดินสอขึ้นมานะครับ ลองเร่ิมจากเมืองที่หนื่ง แล้วพยายามลากผ่านทุุกเมือง แต่ให้ผ่านสะพานเพียงครั้ัั่งเดียว (ลากดินสอผ่านได้ครั้งเดียว) เป็นไงครับทดลองทุกวิถีทางหรือยังครับ ทำไม่ได้ใช่ไหมครับก็ไม่ต้องตกใจนะครับ เราได้ พยายามทุกวิธีแล้ว เช่นกัน ครับ ขนาดนายออยเลอร์ก็กุมขมับ อยู่นาน แต่ด้วยความที่ นายออย์เลอร์ ไม่ย้อท้อต่ออุปสรรค และ การเป็นนักวิทยาศาสตร์ที่ดี เค้าก็ถามตัวเองต่อไปอักว่าทำไมถึงทำไม่ได้ นายออยเลอร์ก็ได้ใช้พลังลมปราณน์ที่ได้้ฝืกปรือมา ต่อสู้กับปัญหานี้้อยู่เป็นเวลานาน พอสมควรแต่ก็ไม่สำเร็จ จนนายออย์เลอร์ต้อง คิดท่ากระบวนเพลงใหม่ที่เอามาใช้ต่อสู้กับเจ้าปัญหาที่ก่อกัวใจอยู่ กระบวนท่านี้ง่ายมาก ไม่ต้องใช้กำลังภายในมาก ท่าเริ่มของกระบวนท่าก็ จับเอาวงกลมเป็นตัวแทนเมืองและเกาะ แล้วแทนสะพานแต่ละสะพาน ที่เชื่อมเกาะกับเมืองด้วยเส้นตรง ก็ลองดูในรูปที่สองนะครับ
เราเรียกวงกลมว่า Node และ เส้นตรงว่า Edge นายออย์เลอร์ก็ให้คำตอบกับตัวเองได้ว่า ทำไมถึงทำอย่างที่อยากจะทำไม่ได้ นายออย์เลอร์บอกว่าจะทำอย่างนั้นได้ก็ต่อเมื่อทุกๆวงกลม ต้องมีเส้นตรงที่ติดอยู่ เป็นเลขคู่ ท่าไม่เชื่อก็ทดลองด้วยการวาดรูปแบบต่างๆ แล้วก็พยายามทำความเข้าใจดูนะครับว่า ทำไมถึงไม่ได้ ด้วย ความที่นายออย์เลอร์ได้คิดกระบวนท่าขึ้นมาใหม่ เราก็ได้ตั้งชื่อกระบวนท่าใหม่นี้ว่า วิชากราฟ Graph และก็ยกย่องให้ เป็นบุคคลแรกที่ริเร่ิมใช้กราฟนะครับ อย่าไปสับสนกับการวาดกราฟนะครับ
เป็นไงครับได้เรียนรู้ประวัติเล็กๆน้อยๆของวิชานี้ไปกันแล้ว คราวนี้ลองมาดูประโยชน์ของวิชานี้กันหน่อยนะครับ ก็ประเทศจีนเพื่อนบ้านเรียงเคียง ของเรานี่ละครับ ด้วยความที่หมู่บ้านมันใหญ่ ทำให้บุรุษไปรษณีย์ต้องทำงานหนักด้วยการ เดินส่งจดหมายให้แต่ละบ้้านทุกบ้าน นักคณิตศาสตร์จีนชื่อ Mei-Ko ก็็ได้นำวิชากราฟมาใช้ และ คำถามที่มีีก็เหมือนกับ คำถามที่นายออย์เลอร์ถาม เพราะว่าบุรุษไปรษณีย์ ต้องการเดินส่งจดหมายโดยเดินให้สั้นที่สุด ก็คืิอเดินบนถนนแต่ละเส้นเพียงคร้ัง เดียวถ้าเป็นไปได้ คราวนี้ปัญหาเริ่มยากขึ้นเพราะว่า เราต้องพิจารณาระยะทางบนถนนแต่ละเส้นด้วย หลายๆคน คงจะถามว่าจะใช้กระบวนท่ากราฟยังไง ก่อนอื่นก็ให้วงกลมแทนแยกต่างๆ และเส้นตรงแทนถนน ท่ี่เชื่อมต่อแยกต่างๆ โดยมีระยะทาง กำกับบนเส้นตรงนั้นด้วย
ก่อนจะจบก็ขอกล่าวถึงปัญหาอีกปัญหาที่มีชื่อเสียงมาก และมีการนำเอาปัญหานี้ ไปประยุกต์ใช้ท่ัวไปได้มากมาย ปัญหานี้มีชื่อว่า Traveling Salemen ชื่อของปัญหาก็บอกอยู่แล้วนะครับ เป็นปัญหาของคนขายของที่ต้องเดินทางไปยังเมือง ต่างๆ โดยต้องไปทุกเมือง และใช้ระยะทางที่สั้นที่สุด แล้วก็กลับมายังจุดเริ่มต้น ปัญหาดูง่ายๆมากเลยใช่ไหมครับ แต่นักคณิตศาสตร์ได้จัดให้ปัญหานี้ เป็นปัญหาที่ยาก (ทำไมถึงยาก แล้วอะไรคือคำว่า ยากไว้ค่อยอธิบายกันคราวหลังนะครับ) ทำไมปัญหานี้ถึงได้สำคัญนักหนา ก็เพราะว่าเราสามารถ เอาไปประยุกต์ใช้ได้เยอะแยะมากมาย ตัวอย่าง ที่ค่อนค้างจะเป็นที่ ไกลตัวหน่อยนะครับ คือ ว่าในการผลิตวัสดุบางอย่าง ที่ใช้แขนหุ่นยนต์ช่วยในการผลิต และ ประกอบชิ้นส่วนนะครับ แขนกลนี้จะต้องหยิบชิ้นส่วนต่างๆ ขึ้นมาเพื่อประกอบเข้ากัน การที่แขนเคลื่อนย้ายไปมา ก็ใช้ระยะเวลาใช่ไหมครับเพราะฉะน้ัน เราก็ต้องการให้แขนของหุ่นยนต์นี้ใช้เวลาน้อย ที่สุด และ หยิบประกอบชิ้นส่วนทุกช้ิน ถ้าใครนึกไม่ออกว่ามันเกี่ยวกันยังไง ลองนึกว่าระยะเวลาที่ใช้เป็นระยะทาง และ ชิ้นส่วนที่หยิบขึ้น เป็นเมืองที่คนขายของต้องไป เป็นไงครับ ถึงบางอ้อกันหรือยัง ยังมีปัญหาอีกมากมายที่ใช้กราฟไปช่วย ในการแปลปัญหาที่มีในชีวิตประจำวัน ให้เป็นภาษาของคณิตศาสตร์ ซึ่งทำให้เรา สามารถแก้ปัญหาเหล่านั้นได้ดีขึ้น เราสามารถแม้กระทั้งใช้กราฟ ช่วยแก้ปัญหาการจราจรที่ ติดขัดบนท้องถนนได้ ใช้ไปช่วยในการหาเส้นทางที่สั้นที่สุดจากจุดหมายหนึ่งไปยังอีกที่หนึ่งโดยใช่เส้นทางที่รถไม่ค่อยติด หรือว่าใช้กราฟใน การแก้ป้ญหา การจัดตารางการเรียนการสอน ให้กับคุณครูโดยจัดให้เหมาะสมกับเวลาของคุณครู และความสามารถในการสอนของคุณครูด้วย หรือจัดตารางการบินให้กับพนักงานขับเครื่องบิน และพนักงานโดยให้ตารางเวลาของพนักงานเหมาะสม แม้กระท้ัง ใช้กราฟช่วยหาจำนวนเครื่องบิน ที่จะสามารถบริการตามตารางที่จัดมา เช่น เท่ียวบินกรุงเทพ-เชียงใหม่วันละ สาม เที่ยว กรุงเทพ-ภูเก็ต สี่เที่ยว กรุงเทพ-ขอนแก่น สาม เที่ยว แล้วตารางเวลาบินอาจจะเหลื่อมกันบ้าง จึงทำให้จำนวนของเครื่องบินที่จำเป็นต้องมีเป็น สี่ลำ หลายๆคนอาจจะเริ่มสงสัยแล้วว่าจะต้องกระบวนท่าพิเศษเพิ่มขึ้นมาอย่างไร เอาไว้ถ้ามีคนสนใจกันจะนำเสนอต่อไปนะครับ คราวนี้คงจะเห็นประโยชน์และความสนุกของวิชาคณิตศาสตร์ขึ้นมาบ้างนะครับ
ก่อนจากกันก็ขอท้ิงเกมส์ให้เล่นกัน สองเกมส์นะครับ
เกมส์แรกก็ง่ายมาก ให้ลากเส้นเชื่อมตัวอักษรที่เหมือนกันโดยที่ไม่ลากตัดกับเส้นเชื่อมกันของตัวอักษรอื่นๆ เช่น เส้นเชื่อม A-A ไม่ตัดกับ ของ B-B
เกมส์ที่สองก็ให้เอาเหรียญ์บาทไปใส่ไว้ที่ช่องเลข สอง และ เหรียญห้าบาทใส่ไว้ในช่องเลข สิบห้า ผู้เล่นผลัดกันเดินและเดินไปในช่องที่ติดกันได้เท่านั้น เช่น ช่อง 2 ไป 1, 3, 7 และ 8 ได้ เหรียญบาทเริ่มเล่นก่อน และ ต้องเดินไปอยู่ในช่องเดียวกับเหรียญห้าบาทให้ได้ภายใน 7 ครั้งของการเดิน ใครสามารถบอกวิธีการเล่นที่จะทำให้ผู้เล่นคนหนึ่งชนะตลอดเวลา
น้อยคนนักที่จะเห็นว่าวิชาคณิตศาสตร์นี่สนุก ส่วนมากแล้วพอบอกว่าจะต้องเรียนคณิตศาสตร์ ทุกคนก็เริ่ม ทำหน้าเสียกันแล้วใช่ไหมครับ มันมีหลายเหตุผลที่จะทำให้คนเราเกลียดบางสิ่งบางอย่างได้ เหตุผลหลักก็คงจะเป็นที่ ได้รับประสบการณ์ที่ไม่ดีกับวิชาคณิตศาสตร์ เช่น คุณครูวิชานี้ดุมาก เลยไม่อยาก ไปเจอหน้าคุณครูเลย หรือไม่ก็เจอหัวข้อที่ฟังเท่าไรก็ไม่เข้าใจ เพราะมันมีแต่ตัว เอกซ์ ตัว วาย อะไรก็ไม่รู้เต็มกระดานไปหมด หลายๆคนก็เลยเกิดอาการกลัววิชาคณิตศาสตร์ขึ้นมา แต่ความจริงแล้วนะครับ มันก็ยังมีอีกหลายส่วน ของวิชาคณิตศาสตร์ ที่ทั้งสนุก และ ง่ายต่อการเข้าใจ และ ที่สำคัญเอาไปใช้ประโยชน์ได้เยอะมากๆด้วย ก่อนอื่นก็จะเล่านิทานที่มาที่ไปของวิชานี่สักหน่อยนะครับ ก็สมัยเมื่อสัก 200 กว่าปีมาแล้วก็มีกระทาชายนายหนื่งชื่อว่า Leonhard Euler อาศัยอยู่ในเมือง Konigsberg ในเมืองนี้ก็มีเกาะสองเกาะตั้งอยู่กลางแม่น้ำ Pregel และ มีสะพานเชื่อมเกาะท้ังสองกับฝั่ง ดังในรูปนะครับ
ด้วยความที่เป็นคนช่างคิดช่างสงสัย ประจวบกับการที่ต้องเดินไปมา ระหว่างเกาะทั้งสองนี้ ก็เลยตั้งคำถาม ถามตัวเองขึ้นมาว่า มันเป็นไปได้หรือไม่ที่จะเดินผ่านเมืองท้ั้งสีี่ โดยเดินข้ามสะพานทุกสะพาน สะพานละหนื่งคร้ัง แล้วก็กลับมายังจุดเริ่มต้น เอาละสิสงสัยนายคนนี้จะบ้าหรืิอเปล่าอยู่ดีไม่ว่าดี ก็ถามคำถามไร้สาระขึ้นมา แล้วคำถามก็ไม่ใช่ว่า จะเข้าใจง่ายๆเลยด้วย เอาอย่างนี้ละกัน หยิบดินสอขึ้นมานะครับ ลองเร่ิมจากเมืองที่หนื่ง แล้วพยายามลากผ่านทุุกเมือง แต่ให้ผ่านสะพานเพียงครั้ัั่งเดียว (ลากดินสอผ่านได้ครั้งเดียว) เป็นไงครับทดลองทุกวิถีทางหรือยังครับ ทำไม่ได้ใช่ไหมครับก็ไม่ต้องตกใจนะครับ เราได้ พยายามทุกวิธีแล้ว เช่นกัน ครับ ขนาดนายออยเลอร์ก็กุมขมับ อยู่นาน แต่ด้วยความที่ นายออย์เลอร์ ไม่ย้อท้อต่ออุปสรรค และ การเป็นนักวิทยาศาสตร์ที่ดี เค้าก็ถามตัวเองต่อไปอักว่าทำไมถึงทำไม่ได้ นายออยเลอร์ก็ได้ใช้พลังลมปราณน์ที่ได้้ฝืกปรือมา ต่อสู้กับปัญหานี้้อยู่เป็นเวลานาน พอสมควรแต่ก็ไม่สำเร็จ จนนายออย์เลอร์ต้อง คิดท่ากระบวนเพลงใหม่ที่เอามาใช้ต่อสู้กับเจ้าปัญหาที่ก่อกัวใจอยู่ กระบวนท่านี้ง่ายมาก ไม่ต้องใช้กำลังภายในมาก ท่าเริ่มของกระบวนท่าก็ จับเอาวงกลมเป็นตัวแทนเมืองและเกาะ แล้วแทนสะพานแต่ละสะพาน ที่เชื่อมเกาะกับเมืองด้วยเส้นตรง ก็ลองดูในรูปที่สองนะครับ
เราเรียกวงกลมว่า Node และ เส้นตรงว่า Edge นายออย์เลอร์ก็ให้คำตอบกับตัวเองได้ว่า ทำไมถึงทำอย่างที่อยากจะทำไม่ได้ นายออย์เลอร์บอกว่าจะทำอย่างนั้นได้ก็ต่อเมื่อทุกๆวงกลม ต้องมีเส้นตรงที่ติดอยู่ เป็นเลขคู่ ท่าไม่เชื่อก็ทดลองด้วยการวาดรูปแบบต่างๆ แล้วก็พยายามทำความเข้าใจดูนะครับว่า ทำไมถึงไม่ได้ ด้วย ความที่นายออย์เลอร์ได้คิดกระบวนท่าขึ้นมาใหม่ เราก็ได้ตั้งชื่อกระบวนท่าใหม่นี้ว่า วิชากราฟ Graph และก็ยกย่องให้ เป็นบุคคลแรกที่ริเร่ิมใช้กราฟนะครับ อย่าไปสับสนกับการวาดกราฟนะครับ
เป็นไงครับได้เรียนรู้ประวัติเล็กๆน้อยๆของวิชานี้ไปกันแล้ว คราวนี้ลองมาดูประโยชน์ของวิชานี้กันหน่อยนะครับ ก็ประเทศจีนเพื่อนบ้านเรียงเคียง ของเรานี่ละครับ ด้วยความที่หมู่บ้านมันใหญ่ ทำให้บุรุษไปรษณีย์ต้องทำงานหนักด้วยการ เดินส่งจดหมายให้แต่ละบ้้านทุกบ้าน นักคณิตศาสตร์จีนชื่อ Mei-Ko ก็็ได้นำวิชากราฟมาใช้ และ คำถามที่มีีก็เหมือนกับ คำถามที่นายออย์เลอร์ถาม เพราะว่าบุรุษไปรษณีย์ ต้องการเดินส่งจดหมายโดยเดินให้สั้นที่สุด ก็คืิอเดินบนถนนแต่ละเส้นเพียงคร้ัง เดียวถ้าเป็นไปได้ คราวนี้ปัญหาเริ่มยากขึ้นเพราะว่า เราต้องพิจารณาระยะทางบนถนนแต่ละเส้นด้วย หลายๆคน คงจะถามว่าจะใช้กระบวนท่ากราฟยังไง ก่อนอื่นก็ให้วงกลมแทนแยกต่างๆ และเส้นตรงแทนถนน ท่ี่เชื่อมต่อแยกต่างๆ โดยมีระยะทาง กำกับบนเส้นตรงนั้นด้วย
ก่อนจะจบก็ขอกล่าวถึงปัญหาอีกปัญหาที่มีชื่อเสียงมาก และมีการนำเอาปัญหานี้ ไปประยุกต์ใช้ท่ัวไปได้มากมาย ปัญหานี้มีชื่อว่า Traveling Salemen ชื่อของปัญหาก็บอกอยู่แล้วนะครับ เป็นปัญหาของคนขายของที่ต้องเดินทางไปยังเมือง ต่างๆ โดยต้องไปทุกเมือง และใช้ระยะทางที่สั้นที่สุด แล้วก็กลับมายังจุดเริ่มต้น ปัญหาดูง่ายๆมากเลยใช่ไหมครับ แต่นักคณิตศาสตร์ได้จัดให้ปัญหานี้ เป็นปัญหาที่ยาก (ทำไมถึงยาก แล้วอะไรคือคำว่า ยากไว้ค่อยอธิบายกันคราวหลังนะครับ) ทำไมปัญหานี้ถึงได้สำคัญนักหนา ก็เพราะว่าเราสามารถ เอาไปประยุกต์ใช้ได้เยอะแยะมากมาย ตัวอย่าง ที่ค่อนค้างจะเป็นที่ ไกลตัวหน่อยนะครับ คือ ว่าในการผลิตวัสดุบางอย่าง ที่ใช้แขนหุ่นยนต์ช่วยในการผลิต และ ประกอบชิ้นส่วนนะครับ แขนกลนี้จะต้องหยิบชิ้นส่วนต่างๆ ขึ้นมาเพื่อประกอบเข้ากัน การที่แขนเคลื่อนย้ายไปมา ก็ใช้ระยะเวลาใช่ไหมครับเพราะฉะน้ัน เราก็ต้องการให้แขนของหุ่นยนต์นี้ใช้เวลาน้อย ที่สุด และ หยิบประกอบชิ้นส่วนทุกช้ิน ถ้าใครนึกไม่ออกว่ามันเกี่ยวกันยังไง ลองนึกว่าระยะเวลาที่ใช้เป็นระยะทาง และ ชิ้นส่วนที่หยิบขึ้น เป็นเมืองที่คนขายของต้องไป เป็นไงครับ ถึงบางอ้อกันหรือยัง ยังมีปัญหาอีกมากมายที่ใช้กราฟไปช่วย ในการแปลปัญหาที่มีในชีวิตประจำวัน ให้เป็นภาษาของคณิตศาสตร์ ซึ่งทำให้เรา สามารถแก้ปัญหาเหล่านั้นได้ดีขึ้น เราสามารถแม้กระทั้งใช้กราฟ ช่วยแก้ปัญหาการจราจรที่ ติดขัดบนท้องถนนได้ ใช้ไปช่วยในการหาเส้นทางที่สั้นที่สุดจากจุดหมายหนึ่งไปยังอีกที่หนึ่งโดยใช่เส้นทางที่รถไม่ค่อยติด หรือว่าใช้กราฟใน การแก้ป้ญหา การจัดตารางการเรียนการสอน ให้กับคุณครูโดยจัดให้เหมาะสมกับเวลาของคุณครู และความสามารถในการสอนของคุณครูด้วย หรือจัดตารางการบินให้กับพนักงานขับเครื่องบิน และพนักงานโดยให้ตารางเวลาของพนักงานเหมาะสม แม้กระท้ัง ใช้กราฟช่วยหาจำนวนเครื่องบิน ที่จะสามารถบริการตามตารางที่จัดมา เช่น เท่ียวบินกรุงเทพ-เชียงใหม่วันละ สาม เที่ยว กรุงเทพ-ภูเก็ต สี่เที่ยว กรุงเทพ-ขอนแก่น สาม เที่ยว แล้วตารางเวลาบินอาจจะเหลื่อมกันบ้าง จึงทำให้จำนวนของเครื่องบินที่จำเป็นต้องมีเป็น สี่ลำ หลายๆคนอาจจะเริ่มสงสัยแล้วว่าจะต้องกระบวนท่าพิเศษเพิ่มขึ้นมาอย่างไร เอาไว้ถ้ามีคนสนใจกันจะนำเสนอต่อไปนะครับ คราวนี้คงจะเห็นประโยชน์และความสนุกของวิชาคณิตศาสตร์ขึ้นมาบ้างนะครับ
ก่อนจากกันก็ขอท้ิงเกมส์ให้เล่นกัน สองเกมส์นะครับ
เกมส์แรกก็ง่ายมาก ให้ลากเส้นเชื่อมตัวอักษรที่เหมือนกันโดยที่ไม่ลากตัดกับเส้นเชื่อมกันของตัวอักษรอื่นๆ เช่น เส้นเชื่อม A-A ไม่ตัดกับ ของ B-B
เกมส์ที่สองก็ให้เอาเหรียญ์บาทไปใส่ไว้ที่ช่องเลข สอง และ เหรียญห้าบาทใส่ไว้ในช่องเลข สิบห้า ผู้เล่นผลัดกันเดินและเดินไปในช่องที่ติดกันได้เท่านั้น เช่น ช่อง 2 ไป 1, 3, 7 และ 8 ได้ เหรียญบาทเริ่มเล่นก่อน และ ต้องเดินไปอยู่ในช่องเดียวกับเหรียญห้าบาทให้ได้ภายใน 7 ครั้งของการเดิน ใครสามารถบอกวิธีการเล่นที่จะทำให้ผู้เล่นคนหนึ่งชนะตลอดเวลา
เก็บเข้าคอลเล็กชัน
ความคิดเห็น