น่ารู้รอบตัว เรื่องคณิตศาสตร์

ลำดับตอนที่ #19 : e กับการออกดอก

จากที่กล่าวมาว่าตัวเลข e เกี่ยวข้องกับความงอกงาม

ถามว่า “ดอกอะไร โตเร็วที่สุด ?” ชาวยุทธจักรลูกหนี้ทั้งหลายคงพร้อมใจตอบเป็นเสียงเดียวว่า
“ดอกเบี้ย ! ”



ค่า e และดอกเบี้ย เกี่ยวพันกันอย่างมาก ขอยกตัวอย่างให้เห็นเป็นรูปธรรมครับ

ภาพประกอบ : น้องลานนา (ตัวอย่างเป็นรูปธรรม ก็ต้องเป็นรูปธรรมที่ดูดีหน่อยครับ)

สมมติว่าน้องลานนา มาขอยืมเงินผมหนึ่งบาท เป็นเวลาหนึ่งปี จะไปลงทุนออกเทป (สมมติครับ อย่าซีเรียส) ผมสวมบทบาทเจ้าหนี้หน้าเลือด คิดดอกเบี้ยร้อยละร้อย แสดงว่าสิ้นปี น้องลานนา (ถ้าไม่หนีหนี้ผมไปซะก่อน) จะต้องจ่ายเงินต้นผมหนึ่งบาท ดอกเบี้ยอีกหนึ่งบาท รวมเป็น 2 บาท




ผมเขี้ยวกว่านี้ได้อีก โดยคิดดอกเท่าเดิม แต่คราวนี้ผมคิดดอกเบี้ยทบต้นทุกครึ่งปี แสดงว่าหกเดือนผ่านไป ผมเริ่มคิดดอกเบี้ย แต่ผมสัญญากับน้องเขาว่าดอกยังเป็นร้อยละร้อย ต่อปี ดังนั้นผ่านมาครึ่งปี ผมคิดดอกเบี้ยได้แค่ร้อยละห้าสิบ แสดงว่าครึ่งปีผ่านไป น้องลานนาจะติดเงินผมอยู่ 1.50 บาท




สิ้นปี ผมคิดดอกเบี้ยอีกร้อยละห้าสิบของ 1.50 บาท ดังนั้นผมจะได้ดอกเบี้ยสิ้นปีอีก 0.75 บาท รวมกับของเก่า 1.50 บาท เป็นทั้งหมด 2.25 บาท




ถ้าคิดในรูปยกกำลัง จะได้
= 2.25 บาท ทำนองเดียวกัน ถ้าผมคิดดอกเบี้ย n งวด ในหนึ่งปี แต่ละครั้ง ดอกเบี้ยเท่ากัน แต่ต้องเป็นร้อยละร้อยต่อปี
เงินที่จะได้ในหนึ่งปีคือ บาท

ถ้าเก็บดอก 3 งวด แทนค่าเข้าในสูตร จะได้เงินปลายปี หรือประมาณ
2.37 บาท

ถ้ากำเริบขึ้นมา คิดดอกเบี้ยรายเดือน คือ 12 งวดต่อปี น้องลานนาต้องจ่าย ประมาณ
2.61 บาท



ดอกเบี้ยต่อปีเท่าเดิม แต่ยิ่งแบ่งงวดทบต้นมากเท่าไร ยิ่งคิดเป็นเงินปลายปีได้มากขึ้น ถ้าผมจะขอคิดดอกเบี้ย เป็นรายวัน รายชั่วโมง หรือ เป็นรายวินาที น้องลานนามิต้องหมดเนื้อหมดตัว
ใช้หนี้ผมหรือ ?

ภาพประกอบ จาคอบ แบร์นูลลี

จาคอบ แบร์นูลลี ตั้งคำถามทำนองนี้ เมื่อสามร้อยปีที่แล้ว และสรุปว่า

ถ้าเราแทน n ในสูตรด้วยค่าอสงไขย หรือ พูดแบบคณิตศาสตร์ก็ว่า ให้ลิมิตของ n เข้าสู่อนันต์แทนเข้าไปในสูตร
จะได้ค่าคงตัวออกมาค่าหนึ่ง

ซึ่งคุณเบอร์นูลลี คำนวณมาประมาณว่าไม่เกิน 3 ดังนั้น ไม่ว่าเจ้าหนี้หน้าเลือด จะคิดเป็นกี่ล้านงวดในหนึ่งปี
น้องลานนาผู้น่ารัก ก็จะจ่ายไม่เกิน 3 บาท



ต่อมา คนจึงรู้ว่า เจ้าค่าคงตัวที่คุณเบอร์นูลลี คำนวณออกมา ที่แท้ก็คือค่า e นั่นเอง




สิ่งที่คุณแบร์นูลลี คิดขึ้น เป็นที่มาของนิยาม

แสดงว่าน้องลานนาไม่ต้องจ่ายถึง 3 บาทด้วยซ้ำ แค่ e บาท หรือ 2.718 เศษๆ ก็พอ




จากนิยามข้างต้น เรายังเล่นแร่แปรธาตุได้ต่อ คราวนี้ ถ้า 1 บาท คิดดอกเบี้ย x บาทต่อปี
แต่คิดเป็นอสงไขยงวด สูตรก็จะเปลี่ยนเป็น

นักคณิตศาสตร์คำนวณได้

= e^x

คนชอบเลขหลายคนบอกว่าสมการนี้น่ารัก น่าศึกษา จะน่าเอ็นดูพอ ๆ กับน้องลานนาหรือไม่ ก็แล้วแต่ใครจะคิดล่ะครับ

ผู้เขียน: ดร. กิตติกร นาคประสิทธิ์