สวัสดีผู้เยี่ยมชม [ เข้าระบบ | สมัครสมาชิก ]
 กระทู้ Top5 วันนี้ | นิยาย | ค้นหานิยาย | บอร์ดนักเขียน | บอร์ด AF | บอร์ด TheStar | ของที่ระลึก Dek-D | App อ่านนิยายบนมือถือ New! |
  นิยายรักหวานแหวว | นิยายรักเศร้าๆ | นิยายซึ้งกินใจ | นิยายแฟนตาซี | นิยายผจญภัย | เรื่องสบายๆคลายเครียด | แฟนฟิค | วรรณกรรมเยาวชน |
เข้าสู่ My.iD Control สมัครเป็นนักเขียนใหม่ | วิธีลงบทความ กฏเกณฑ์การใช้งาน | การควบคุมเรตติ้ง

น่ารู้รอบตัว เรื่องคณิตศาสตร์

ตอนที่ 10 : ลำดับที่มีขอบเขต ( Bounded Sequences )


     อัพเดท 17 มิ.ย. 50
กลับไปหน้าหลักของบทความ
แจ้งเนื้อหาในตอนไม่เหมาะสม
นิยาย-เรื่องยาว: มีสาระ/ความรู้รอบตัว
Tags: ยังไม่มี
ผู้แต่ง : จอมโจรริทอส ดูเน็ตเวิร์คอื่นๆ ของ จอมโจรริทอส Email : ritoswhite(แอท)hotmail.com
My.iD: http://my.dek-d.com/ritos
< Review/Vote > Rating : 73% [ 24 mem(s) ]
This month views : 23 Overall : 11,289
46 Comment(s), [ แฟนพันธุ์แท้ 34 คน ]

[ ตอนก่อนหน้า | กลับไปหน้าหลักของบทความ | ตอนถัดไป ] [ บันทึกเป็น Favorite ] [ ปิดหน้าต่างนี้ ]
น่ารู้รอบตัว เรื่องคณิตศาสตร์ ตอนที่ 10 : ลำดับที่มีขอบเขต ( Bounded Sequences ) , ผู้เข้าชมตอนนี้ : 1434 , โพส : 0 , Rating : 5 / 1 vote(s)

ขนาดตัวอักษร : เพิ่มขนาด | ลดขนาด


นิยาม 1.5.1 ให้ \{a_n\} เป็นลำดับของจำนวนจริง เรียกจำนวนจริง A ว่าขอบเขตบน ( Upper Bound ) ของ \{a_n\} ก็ต่อเมื่อ a_n \leq A สำหรับทุก ๆ n = 1,2 ,3, \ldots
และเรียก A ว่าขอบเขตบนค่าน้อยสุด ( Least Upper Bound ) ของ \{a_n\} ก็ต่อเมื่อ A เป็นขอบเขตบนของ \{a_n\} และ A มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับขอบเขตบนทุกตัวของ \{a_n\}


นิยาม 1.5.2 ให้ \{a_n\} เป็นลำดับของจำนวนจริง เรียกจำนวนจริง B ว่าขอบเขตล่าง ( Lower Bound ) ของ\{a_n\} ก็ต่อเมื่อ B \leq a_n สำหรับทุก ๆ n = 1,2 ,3, \ldots
และเรียก B ว่าขอบเขตล่างค่ามากสุด ( Greatest Lower Bound ) ของ \{a_n\} ก็ต่อเมื่อB เป็นขอบเขตล่างของ \{a_n\} และ B มีค่ามากกว่าหรือเท่ากับขอบเขตล่างทุกตัวของ \{a_n\}


เราจะเรียก \{a_n\} ว่ามีขอบเขต ก็ต่อเมื่อ \{a_n\} มีทั้งขอบเขตบนและขอบเขตล่าง


ตัวอย่าง 1
1.1 ลำดับ \{2n\} = 2,4,6,8,\ldots มี 2 เป็นขอบเขตล่างค่ามากสุด แต่ไม่มีขอบเขตบน ดังนั้นลำดับนี้จึงไม่มีขอบเขต และ เป็นลำดับเพิ่ม

1.2 ลำดับ \{(-1)^n\} = -1,1,-1,1,\ldots มี 1 เป็นขอบเขตล่างค่ามากสุด และ มี -1 เป็นขอบเขตล่างค่ามากสุด ดังนั้นลำดับนี้จึงมีขอบเขต แต่ลู่ออก

1.3 ลำดับ \displaystyle{\left\{\frac{(-1)^n}{n}\right\}=-1,\frac{1}{2},-\frac{1}{3},\frac{1}{4},-\frac{1}{5},\ldots} มี -1 เป็นขอบเขตล่างค่ามากสุด และ \displaystyle{\frac{1}{2}} เป็นขอบเขตบนค่าน้อยสุด ดังนั้น \displaystyle{\left\{\frac{(-1)^n}{n}\right\}} เป็นลำดับที่มีขอบเขตและ ไม่เป็นลำดับทางเดียว

ตัวอย่าง 2
พิจารณาลำดับ \displaystyle{\{\frac{n}{2n+1}\}=\frac{1}{3},\frac{2}{5}.\frac{3}{7},\frac{4}{9},\ldots}
ให้ \displaystyle{a_n = \frac{n}{2n+1}}, \displaystyle{a_n = \frac{n+1}{2n+3}}
ดังนั้น \displaystyle{a_{n+1} -a_n = \frac{n+1}{2n+3} - \frac{n}{2n+1}}
จึงได้ว่า a_{n+1} \geq a_n ทุก ๆ n = 1,2,3,\ldots นั่นคือ a_1\leq a_2 \leq a_3 \leq \ldots
หรือ \displaystyle{\frac{1}{3}\leq \frac{2}{5} \leq \frac{3}{7}\leq \frac{4}{9} \leq \ldots} และ จะได้ว่า a_n \leq \frac{1}{3} ทุก ๆ n = 1,2,3, \ldots

ดังนั้น \frac{1}{3} เป็นขอบเขตล่างของ \{a_n\} นอกจากนี้แล้วยังมีจำนวนจริงอีกมากมายที่เป็นขอบเขตล่างของ \{a_n\} เช่น 0 , -1 ,-3/2 เป็นต้น แต่ทุกจำนวนที่เป็นขอบเขตล่างของ \{a_n\} จะมีค่าไม่เกิน 1/3 ดังนั้น 1/3 เป็นขอบเขตล่างที่มีค่ามากที่สุด

สำหรับขอบเขตบนของ \{a_n\}จะพิจารณาจาก \displaystyle{a_n = \frac{n}{2n+1} < \frac{n}{2n} = \frac{1}{2}} ทุกๆ n =1,2,3, \dots

ดังนั้น \frac{1}{2} เป็นขอบเขตบนค่าหนึ่งของ \{a_n\} และทุกจำนวนที่มากกว่าหรือเท่ากับ \frac{1}{2} เป็นขอบเขตบน ทั้งหมด

การที่จะแสดงว่า \frac{1}{2} เป็นขอบเขตบนค่าน้อยสุดทำได้ดังนี้
สมมติว่ามีจำนวนจริง y โดยที่ 0<y<\frac{1}{2} และ y เป็นขอบเขตบนของ \{a_n\} แล้ว จะมีจำนวนเต็มบวก m ตัวหนึ่งซึ่ง \displaystyle{m > \frac{y}{1-2y}} หรือ ได้ \displaystyle{y > \frac{m}{2m+1} = a_m} ซึ่งขัดแย้งกับที่ y เป็นขอบเขตบน

ดังนั้น จึงไม่มีจำนวนจริง \displaysyle{0<y<\frac{1}{2}} และ y เป็นขอบเขตบนของ \{a_n\} นั่นคือ \displaystyle{\frac{1}{2}} เป็นขอบเขตบนค่าน้อยสุดของ \{a_n\}

ทฤษฎีบท 1.5.3 ถ้า \{a_n\} เป็นลำดับที่ลู่เข้าแล้ว \{a_n\} จะเป็นลำดับที่มีขอบเขต


หมายเหตุ
- บทกลับของ 1.7 ได้ว่า ถ้า \{a_n\} ไม่มีขอบเขต จะเป็นลำดับลู่ออก
-ลำดับทางเดียวที่มีค่าขอบเขต จะเป็นลำดับที่ลู่เข้าเสมอ แต่ ลำดับที่มีขอบเขต ไม่จำเป็นต้องลู่เข้า

ตัวอย่าง 3
เช่น ลำดับ \displaystyle{\{\frac{(-1)^{n+1}(n-1)}{n}\}}ในตัวอย่าง 1.2.2 จากกราฟจะเห็นได้ว่า ลำดับนี้มีขอบเขตที่ -1 ถึง 1 แต่ไม่ลู่เข้า





Dek-D Writer APP : แอพอ่านนิยาย Dek-D บน iPhone , Android Phone
มาแล้ว!! เวอร์ชั่น iPad และ Android Tablet
น่ารู้รอบตัว เรื่องคณิตศาสตร์ ตอนที่ 10 : ลำดับที่มีขอบเขต ( Bounded Sequences ) , ผู้เข้าชมตอนนี้ : 1434 , โพส : 0 , Rating : 5 / 1 vote(s)
Vote ให้คะแนนตอนนี้ Vote ได้ 1 ครั้ง / 1 ชม.
[ ตอนก่อนหน้า | กลับไปหน้าหลักของบทความ | ตอนถัดไป ] [ บันทึกเป็น Favorite ] [ ปิดหน้าต่างนี้ ]
หน้าที่ 1


Post your comment : แสดงความคิดเห็น
ส่วนที่ 1: Message ข้อความ

ส่วนที่ 2 : Name ลงชื่อ
  โพสความเห็นด้วย member Login name Password
  โพสความเห็นไม่แสดง member : ชื่อ* email รูปตัวแทน
            พิมพ์เลขที่เห็น

"หนังสือสดใหม่ ประจำเดือน ตุลาคม 2557"

ข้อตกลง & เงื่อนไขการใช้งาน

  • กรณีที่ผลงานชิ้นนี้เป็นผลงานที่แต่งโดยผู้ลงผลงานเอง ลิขสิทธิ์ของผลงานนี้จะ
    เป็นของผู้ลงผลงานโดยตรง ห้ามมิให้คัดลอก ทำซ้ำ เผยแพร่ ก่อนได้รับอนุญาต
    จากผู้ลงผลงาน

  • กรณีที่ผลงานชิ้นนี้กระทำการคัดลอก ทำซ้ำ มาจากผลงานของบุคคลอื่นๆ ผู้ลง
    ผลงานจะต้องทำการอ้างอิงอย่างเหมาะสม และต้องรับผิดชอบเรื่องการจัดการ
    ลิขสิทธิ์แต่เพียงผู้เดียว

  • ข้อความและรูปภาพที่ปรากฏอยู่ในผลงานที่ท่านเห็นอยู่นี้ เกิดจากการส่งเข้าระบบ
    โดยอัตโนมัติจากบุคคลทั่วไป ซึ่งเด็กดีดอทคอมมิได้มีส่วนร่วมรู้เห็น ตรวจสอบ
    หรือพิสูจน์ข้อเท็จจริงใดๆ ทั้งสิ้น ผู้ใดพบเห็นการลงผลงานละเมิดลิขสิทธิ์ หรือ
    ไม่เหมาะสมโปรดแจ้งผู้ดูแลระบบเพื่อดำเนินการทันที
    Email: contact(at)dek-d.com ( ทุกวัน 24 ชม ) หรือ
    Tel: 0-2860-1142 ( จ-ศ 0900-1800 )

App อ่านนิยายบน iPad iPhone และ Android