ลำดับตอนที่ #10
คืนค่าการตั้งค่าทั้งหมด
คุณแน่ใจว่าต้องการคืนค่าการตั้งค่าทั้งหมด ?
ลำดับตอนที่ #10 : ลำดับที่มีขอบเขต ( Bounded Sequences )
นิยาม 1.5.1 ให้ เป็นลำดับของจำนวนจริง เรียกจำนวนจริง ว่าขอบเขตบน ( Upper Bound ) ของ ก็ต่อเมื่อ สำหรับทุก ๆ
และเรียก ว่าขอบเขตบนค่าน้อยสุด ( Least Upper Bound ) ของ ก็ต่อเมื่อ เป็นขอบเขตบนของ และ มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับขอบเขตบนทุกตัวของ
และเรียก ว่าขอบเขตบนค่าน้อยสุด ( Least Upper Bound ) ของ ก็ต่อเมื่อ เป็นขอบเขตบนของ และ มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับขอบเขตบนทุกตัวของ
นิยาม 1.5.2 ให้ เป็นลำดับของจำนวนจริง เรียกจำนวนจริง ว่าขอบเขตล่าง ( Lower Bound ) ของ ก็ต่อเมื่อ สำหรับทุก ๆ
และเรียก ว่าขอบเขตล่างค่ามากสุด ( Greatest Lower Bound ) ของ ก็ต่อเมื่อ เป็นขอบเขตล่างของ และ มีค่ามากกว่าหรือเท่ากับขอบเขตล่างทุกตัวของ
และเรียก ว่าขอบเขตล่างค่ามากสุด ( Greatest Lower Bound ) ของ ก็ต่อเมื่อ เป็นขอบเขตล่างของ และ มีค่ามากกว่าหรือเท่ากับขอบเขตล่างทุกตัวของ
เราจะเรียก ว่ามีขอบเขต ก็ต่อเมื่อ มีทั้งขอบเขตบนและขอบเขตล่าง
ตัวอย่าง 1
1.1 ลำดับ มี 2 เป็นขอบเขตล่างค่ามากสุด แต่ไม่มีขอบเขตบน ดังนั้นลำดับนี้จึงไม่มีขอบเขต และ เป็นลำดับเพิ่ม
1.2 ลำดับ มี 1 เป็นขอบเขตล่างค่ามากสุด และ มี -1 เป็นขอบเขตล่างค่ามากสุด ดังนั้นลำดับนี้จึงมีขอบเขต แต่ลู่ออก
1.3 ลำดับ มี เป็นขอบเขตล่างค่ามากสุด และ เป็นขอบเขตบนค่าน้อยสุด ดังนั้น เป็นลำดับที่มีขอบเขตและ ไม่เป็นลำดับทางเดียว
ตัวอย่าง 2
พิจารณาลำดับ
ให้ ,
ดังนั้น
จึงได้ว่า ทุก ๆ นั่นคือ
หรือ และ จะได้ว่า ทุก ๆ
ดังนั้น เป็นขอบเขตล่างของ นอกจากนี้แล้วยังมีจำนวนจริงอีกมากมายที่เป็นขอบเขตล่างของ เช่น 0 , -1 ,-3/2 เป็นต้น แต่ทุกจำนวนที่เป็นขอบเขตล่างของ จะมีค่าไม่เกิน 1/3 ดังนั้น 1/3 เป็นขอบเขตล่างที่มีค่ามากที่สุด
สำหรับขอบเขตบนของ จะพิจารณาจาก ทุกๆ
ดังนั้น เป็นขอบเขตบนค่าหนึ่งของ และทุกจำนวนที่มากกว่าหรือเท่ากับ เป็นขอบเขตบน ทั้งหมด
การที่จะแสดงว่า เป็นขอบเขตบนค่าน้อยสุดทำได้ดังนี้
สมมติว่ามีจำนวนจริง โดยที่ และ เป็นขอบเขตบนของ แล้ว จะมีจำนวนเต็มบวก ตัวหนึ่งซึ่ง หรือ ได้ ซึ่งขัดแย้งกับที่ เป็นขอบเขตบน
ดังนั้น จึงไม่มีจำนวนจริง และ เป็นขอบเขตบนของ นั่นคือ เป็นขอบเขตบนค่าน้อยสุดของ
ทฤษฎีบท 1.5.3 ถ้า เป็นลำดับที่ลู่เข้าแล้ว จะเป็นลำดับที่มีขอบเขต
หมายเหตุ
- บทกลับของ 1.7 ได้ว่า ถ้า ไม่มีขอบเขต จะเป็นลำดับลู่ออก
-ลำดับทางเดียวที่มีค่าขอบเขต จะเป็นลำดับที่ลู่เข้าเสมอ แต่ ลำดับที่มีขอบเขต ไม่จำเป็นต้องลู่เข้า
ตัวอย่าง 3
เช่น ลำดับ ในตัวอย่าง 1.2.2 จากกราฟจะเห็นได้ว่า ลำดับนี้มีขอบเขตที่ -1 ถึง 1 แต่ไม่ลู่เข้า
ผู้เขียน: ดร. ธีรเดช เจียรสุขสกุล
เก็บเข้าคอลเล็กชัน
ความคิดเห็น