ตั้งค่าการอ่าน

ค่าเริ่มต้น

  • เลื่อนอัตโนมัติ
    น่ารู้รอบตัว เรื่องคณิตศาสตร์

    ลำดับตอนที่ #10 : ลำดับที่มีขอบเขต ( Bounded Sequences )

    • เนื้อหาตอนนี้เปิดให้อ่าน
    • 4.29K
      2
      17 มิ.ย. 50

    นิยาม 1.5.1 ให้ \{a_n\} เป็นลำดับของจำนวนจริง เรียกจำนวนจริง A ว่าขอบเขตบน ( Upper Bound ) ของ \{a_n\} ก็ต่อเมื่อ a_n \leq A สำหรับทุก ๆ n = 1,2 ,3, \ldots
    และเรียก A ว่าขอบเขตบนค่าน้อยสุด ( Least Upper Bound ) ของ \{a_n\} ก็ต่อเมื่อ A เป็นขอบเขตบนของ \{a_n\} และ A มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับขอบเขตบนทุกตัวของ \{a_n\}


    นิยาม 1.5.2 ให้ \{a_n\} เป็นลำดับของจำนวนจริง เรียกจำนวนจริง B ว่าขอบเขตล่าง ( Lower Bound ) ของ\{a_n\} ก็ต่อเมื่อ B \leq a_n สำหรับทุก ๆ n = 1,2 ,3, \ldots
    และเรียก B ว่าขอบเขตล่างค่ามากสุด ( Greatest Lower Bound ) ของ \{a_n\} ก็ต่อเมื่อB เป็นขอบเขตล่างของ \{a_n\} และ B มีค่ามากกว่าหรือเท่ากับขอบเขตล่างทุกตัวของ \{a_n\}


    เราจะเรียก \{a_n\} ว่ามีขอบเขต ก็ต่อเมื่อ \{a_n\} มีทั้งขอบเขตบนและขอบเขตล่าง


    ตัวอย่าง 1
    1.1 ลำดับ \{2n\} = 2,4,6,8,\ldots มี 2 เป็นขอบเขตล่างค่ามากสุด แต่ไม่มีขอบเขตบน ดังนั้นลำดับนี้จึงไม่มีขอบเขต และ เป็นลำดับเพิ่ม

    1.2 ลำดับ \{(-1)^n\} = -1,1,-1,1,\ldots มี 1 เป็นขอบเขตล่างค่ามากสุด และ มี -1 เป็นขอบเขตล่างค่ามากสุด ดังนั้นลำดับนี้จึงมีขอบเขต แต่ลู่ออก

    1.3 ลำดับ \displaystyle{\left\{\frac{(-1)^n}{n}\right\}=-1,\frac{1}{2},-\frac{1}{3},\frac{1}{4},-\frac{1}{5},\ldots} มี -1 เป็นขอบเขตล่างค่ามากสุด และ \displaystyle{\frac{1}{2}} เป็นขอบเขตบนค่าน้อยสุด ดังนั้น \displaystyle{\left\{\frac{(-1)^n}{n}\right\}} เป็นลำดับที่มีขอบเขตและ ไม่เป็นลำดับทางเดียว

    ตัวอย่าง 2
    พิจารณาลำดับ \displaystyle{\{\frac{n}{2n+1}\}=\frac{1}{3},\frac{2}{5}.\frac{3}{7},\frac{4}{9},\ldots}
    ให้ \displaystyle{a_n = \frac{n}{2n+1}}, \displaystyle{a_n = \frac{n+1}{2n+3}}
    ดังนั้น \displaystyle{a_{n+1} -a_n = \frac{n+1}{2n+3} - \frac{n}{2n+1}}
    จึงได้ว่า a_{n+1} \geq a_n ทุก ๆ n = 1,2,3,\ldots นั่นคือ a_1\leq a_2 \leq a_3 \leq \ldots
    หรือ \displaystyle{\frac{1}{3}\leq \frac{2}{5} \leq \frac{3}{7}\leq \frac{4}{9} \leq \ldots} และ จะได้ว่า a_n \leq \frac{1}{3} ทุก ๆ n = 1,2,3, \ldots

    ดังนั้น \frac{1}{3} เป็นขอบเขตล่างของ \{a_n\} นอกจากนี้แล้วยังมีจำนวนจริงอีกมากมายที่เป็นขอบเขตล่างของ \{a_n\} เช่น 0 , -1 ,-3/2 เป็นต้น แต่ทุกจำนวนที่เป็นขอบเขตล่างของ \{a_n\} จะมีค่าไม่เกิน 1/3 ดังนั้น 1/3 เป็นขอบเขตล่างที่มีค่ามากที่สุด

    สำหรับขอบเขตบนของ \{a_n\}จะพิจารณาจาก \displaystyle{a_n = \frac{n}{2n+1} < \frac{n}{2n} = \frac{1}{2}} ทุกๆ n =1,2,3, \dots

    ดังนั้น \frac{1}{2} เป็นขอบเขตบนค่าหนึ่งของ \{a_n\} และทุกจำนวนที่มากกว่าหรือเท่ากับ \frac{1}{2} เป็นขอบเขตบน ทั้งหมด

    การที่จะแสดงว่า \frac{1}{2} เป็นขอบเขตบนค่าน้อยสุดทำได้ดังนี้
    สมมติว่ามีจำนวนจริง y โดยที่ 0<y<\frac{1}{2} และ y เป็นขอบเขตบนของ \{a_n\} แล้ว จะมีจำนวนเต็มบวก m ตัวหนึ่งซึ่ง \displaystyle{m > \frac{y}{1-2y}} หรือ ได้ \displaystyle{y > \frac{m}{2m+1} = a_m} ซึ่งขัดแย้งกับที่ y เป็นขอบเขตบน

    ดังนั้น จึงไม่มีจำนวนจริง \displaysyle{0<y<\frac{1}{2}} และ y เป็นขอบเขตบนของ \{a_n\} นั่นคือ \displaystyle{\frac{1}{2}} เป็นขอบเขตบนค่าน้อยสุดของ \{a_n\}

    ทฤษฎีบท 1.5.3 ถ้า \{a_n\} เป็นลำดับที่ลู่เข้าแล้ว \{a_n\} จะเป็นลำดับที่มีขอบเขต


    หมายเหตุ
    - บทกลับของ 1.7 ได้ว่า ถ้า \{a_n\} ไม่มีขอบเขต จะเป็นลำดับลู่ออก
    -ลำดับทางเดียวที่มีค่าขอบเขต จะเป็นลำดับที่ลู่เข้าเสมอ แต่ ลำดับที่มีขอบเขต ไม่จำเป็นต้องลู่เข้า

    ตัวอย่าง 3
    เช่น ลำดับ \displaystyle{\{\frac{(-1)^{n+1}(n-1)}{n}\}}ในตัวอย่าง 1.2.2 จากกราฟจะเห็นได้ว่า ลำดับนี้มีขอบเขตที่ -1 ถึง 1 แต่ไม่ลู่เข้า


    ผู้เขียน: ดร. ธีรเดช เจียรสุขสกุล

    ติดตามเรื่องนี้
    เก็บเข้าคอลเล็กชัน

    นิยายที่ผู้อ่านนิยมอ่านต่อ ดูทั้งหมด

    loading
    กำลังโหลด...

    อีบุ๊ก ดูทั้งหมด

    loading
    กำลังโหลด...

    ความคิดเห็น

    ×