ตั้งค่าการอ่าน

ค่าเริ่มต้น

  • เลื่อนอัตโนมัติ
    น่ารู้รอบตัว เรื่องคณิตศาสตร์

    ลำดับตอนที่ #16 : โดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์

    • อัปเดตล่าสุด 25 มิ.ย. 50


    ในหัวข้อนี้จะเป็นรากฐานสำคัญที่จะนำเข้าสู่เรื่องของการสร้างกราฟของความสัมพันธ์ต่อไป แต่ตอนนี้ เรามาทำความรู้จักกับคำว่าโดเมน และเรนจ์กันก่อนนะคะ

    ทุกคนก็คงจะรู้จักเป็นอย่างที่เกี่ยวกับเรื่องความสัมพันธ์และ ผลคูณคาร์ทีเซียนกันแล้ว ซึ่งเราจะนำความรู้ในเรื่องนั้นละนำมาอธิบายความหมายที่แท้จริงพร้อมยกตัวอย่างง่ายๆของ โดเมนและเรนจ์

    ถ้าเรากำหนดให้ A=\{1,2\} และ B=\{2,3,4\} เราจะทราบว่า A\times B=\{(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4)\} และถ้า r=\{(x,y)\in A\times B|y=x+1\} เราจะได้ r=\{(1,2),(2,3)\}

    จากข้างต้นดังที่กล่าวมา เราสามารถที่จะสรุปได้ว่า

    เซตของสมาชิกตัวหน้าในคู่ดันดับของ r คือ \{1,2\} เรียกเซตนี้ว่า โดเมน ของ r
    เซตของสมาชิกตัวหลังในคู่ดันดับของ r คือ \{2,3\} เรียกเซตนี้ว่า เรนจ์ ของ r

    นิยาม โดเมนของความสัมพันธ์ r คือ เซตของสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับใน r เรนจ์ของความสัมพันธ์ r คือ เซตของสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับใน r

    ซึ่งสัญลักษณ์ที่เราจะใช้เขียนแทนโดเมน และเรนจ์ของความสัมพันธ์ r นั้นเราจะแทนโดเมนด้วย D_r และ เรนจ์ด้วย R_rดังนั้น D_r=\{x|(x,y)\in r\} และ R_r=\{x|(x,y)\in r\}


    ตัวอย่าง ให้ A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\} และ r=\{(x,y)\in A\times A|y=x^2\} จงหา D_rและ R_r

    การแก้ปัญหา : A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}

    r=\{(x,y)\in A\times A|y=x^2\} =\{(1,1),(2,4),(3,9)\}

    ดังนั้น D_r=\{1,2,3\} และ R_r=\{1,4,9\}

    และจากตัวอย่างดังข้างต้นที่เราแสดงให้เพื่อนๆเห็นนี้ เป็นการหาค่าโดเมน และเรนจ์ของความสัมพันธ์ที่เขียนอยู่ในรูปของเซตแบบแจกแจงสมาชิก ซึ่งเราจะพบว่าค่า x ที่จะเป็นสมาชิกในโดเมน หรือค่า y ที่จะเป็นสมาชิกในเรนจ์จะต้องเป็นสมาชิกตัวหน้า หรือสมาชิกตัวหลังของคู่อันดับตามลำดับ และจากความเข้าใจดังจ่อไปนี้ เราจะนำไปใช้ในการหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ที่กำหนดในรูปเซตแบบบอกเงื่อนไขที่ไม่สามารถแจงแจงสมาชิกของเซตเหล่านี้ได้หมดทุกตัว เช่น r=\{(x,y)\in R\times R/y=x^2-1\}

    ซึ่งการหาค่าโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์นี้จะต้องพิจารณาด้วยค่าของ x หรือ y จากเงื่อนไขของความสัมพันธ์ โดยพิจารณาจากค่าที่เป็นไปได้หรือค่าที่เป็นไปไม่ได้ หรือหาโดเมนและเรนจ์ได้จากกราฟของความสัมพันธ์

    ดังนั้นการหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ที่กำหนดในรูปของเซตแบบบอกเงื่อนไขที่ไม่สามารถแจกแจงสมาชิกของเซตได้หมดทุกตัว สามารถทำได้ 2 วิธีได้แก่

    1. พิจารณาโดเมน และเรนจ์ จากกราฟของความสัมพันธ์
    2. พิจารณาจากสมการของความสัมพันธ์

    ซึ่งการใช้วิธีพิจารณาจากสมการความสัมพันธ์นั้น สามารถทำได้ดังนี้คือ

    การหาโดเมน : เขียนความสัมพันธ์ โดยจัด y ในรูปของ x นั่นคือ y=f(x) แล้วพิจารณาค่าของ x ที่ทำให้ y เป็นจริงตามเงื่อนไขที่เซตกำหนด
    การหาเรนจ์ : เขียนความสัมพันธ์ โดยจัด x ในรูปของ y นั่นคือ x=f(y) แล้วพิจารณาค่าของ y ที่ทำให้ x
    เป็นจริงตามเงื่อนไขเซตที่กำหนด

    ตัวอย่าง จงหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ต่อไปนี้
    1. r=\{(x,y)\in R\times R|y=x+5\}
    2. r=\{(x,y)\in R\times R|y=x^2-4\}
    3. r=\{(x,y)\in R\times R|y=9-x^2\}

    การแก้ปัญหา :

    1. r=\{(x,y)\in R\times R|y=x+5\}

    วิธีที่ 1 พิจารณาจากกราฟของความสัมพันธ์

    43933


    จากกราฟจะพบว่าทุกจุดบนแกน x และทุกจุดบนแกน y สามารถเขียนกราฟของ y=x+5 ได้เสมอ
    แสดงว่า D_r=\{x|x\in R\} และ R_r=\{y|y\in R\}

    หรือ D_r=R_r=\{x|x\in R\}
    หรือ D_r=R_r=\{y|y\in R\}

    วิธีที่ 2 พิจารณาจากความสัมพันธ์ y=x+5 จากความสัมพันธ์พบว่าไม่ว่าจะแทนค่า x ด้วยจำนวนใดๆ สามารถหาค่า y ที่เป็นจำนวนจริงสอดคล้องกับ y=x+5ได้เสมอ
    นั่นคือ D_r=\{x|x\in R\} และ R_r=\{y|y\in R\}

    แบบฝึกหัด 4

    1. กำหนด A=\{5,6,7,8,9\},B=\{3,4,5\} จงหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ต่อไปนี้
    1. r_1=\{(x,y)\in A\times B|x>7,y=4\}
    2. r_2=\{(x,y)\in A\times A|y>x+2\}
    3. r_3=\{(x,y)\in B\times B|y>|x|\}

    2. จงหาโดเมน และเรนจ์ของความสัมพันธ์ต่อไปนี้
    1. r=\{(x,y)\in I^+\times I^+|x+y=9\}
    2. r=\{(x,y)|y=2x\}
    3. r=\{(x,y)|y\leq1-x^2\}




    ผู้เขียน: ดร. ภคินี สุวรรณจันทร์

    ติดตามเรื่องนี้
    เก็บเข้าคอลเล็กชัน

    ผู้อ่านนิยมอ่านต่อ ดูทั้งหมด

    loading
    กำลังโหลด...

    อีบุ๊ก ดูทั้งหมด

    loading
    กำลังโหลด...

    ความคิดเห็น

    ×