ฟิสิกส์ ม.ปลาย

ลำดับตอนที่ #19 : การเคลื่อนที่แบบฮาร์โมนิกอย่างง่าย (Simple Harmonic Motion)

การหาสมการการเคลื่อนที่ของวัตถุที่เคลื่อนที่แบบฮาร์โมนิกอย่างง่าย 

พิจารณาวงกลมที่มีรัศมี A วางบนแกน XY โดยจุดศูนย์กลางของวงกลมอยู่ที่จุดเริ่มต้น0

รูปที่ 1

P เป็นจุดใด ๆ บนเส้นรอบวง

Q เป็นเงา (projection) ของ P บน แกน Y วิธีการหาจุด Q ก็คือจากจุด P ลากเส้นให้ตั้งฉากกับแกน Y จุดที่เส้นตั้งฉากนี้ตัดแกน Y ก็คือจุด Q นั่นคือ

ที่เวลาเริ่มต้น t= 0 ให้ P อยู่บนแกน +X ขณะนั้นจะได้ว่า Q อยู่ที่จุด O ในเวลาต่อมา ก็ให้ P เคลื่อนที่ไปตามเส้นรอบวงในทิศทวนเข็มนาฬิกา จะเห็นว่าในขณะที่จุด P เคลื่อนที่ ไปตามเส้นรอบวงนั้น จุด Q ก็จะเคล่อนที่ไปตามแกน Y โดย Q จะเริ่มเคลื่อนที่จากจุด 0 ขึ้นไปตามแกน +Y จนถึงตำแหน่งที่ Y = A ในขณะที่ P เคลื่อนที่ถึงแกน +Y จากนั้น Q จะเคลื่อนที่กลับลงมาผ่านจุด 0 อีกครั้งจนไปถึงจุด Y = -A ซึ่งขณะนั้น P ก็เคลื่อนที่ถึงแกน -Y ในที่สุด Q ก็กลับมาถึงจุด 0 อีกครั้ง เมื่อ P เคลื่อนที่จากแกน -Y ไปยังแกน +X

จะเห็นว่า ขณะที่ P เคลื่อนที่เป็นวงกลมนั้น Q ก็จะเคลื่อนที่กลับไปมาตามแกน Y การเคลื่อนที่ของ Q จึงเป็นการเคลื่อนที่แบบ ฮาร์โมนิกอย่างง่าย ในการหาสมการของ SHM นั้น จะหาว่าที่ เวลา t ใด ๆ จุด Q เคลื่อนที่จากจุดเริ่มต้นเป็นระยะทางเท่าใด

รูปที่ 2

ให้จุด P เคลื่อนที่ด้วยความถี่ f รอบ/วินาที

เป็นมุมที่เส้น OP ทำกับแกน +X ที่เวลา t ใด ๆ

เพราะว่า ถ้า P เคลื่อนที่ครบ 1 รอบ จุด Q ก็เคลื่อนที่ครบ 1 รอบเช่นเดียวกัน

ดังนั้นในเวลา 1 วินาที Q เคลื่อนที่ได้ = f รอบ

t วินาที Q เคลื่อนที่ได้ = ft รอบ

ถ้า P เคลื่อนที่ 1 รอบมุม = 2 เรเดียน

P เคลื่อนที่ ft รอบมุม = 2rt เรเดียน

นั่นคือที่เวลา t ใด ๆ มุม จะมีค่าเป็น 2rt เรเดียน

จากรูปพิจารณา OPQ จะได้ว่ามุม P = Q = 2ft

ถ้า y เป็นระยะทางตามแกน Y ที่ Q เคลื่อนที่ได้ในเวลา t ใด ๆ

จะได้ว่า y = OQ

ใน OPQ sin = OQ/OP = y/A

หรือ y = A sin

นั่นคือy = A sin 2ft

สมการข้างบนคือสมการของการเคลื่อนที่แบบฮาร์โมนิกอย่างง่าย

ในสมการ y คือการขจัด (displacement)

A คือ อัมปลิจูด (amplitude)

f คือความถี่ (frequency)

ในการศึกษาการเคลื่อนที่แบบ SHM นี้ จะต้องกำหนดปริมาณต่าง ๆ ดังต่อไปนี้

การขจัด (dis placement) คือระยะทางที่วัตถุเคลื่อนที่ไปได้โดยนับจากจุดสมดุล

อัมปลิจูด (amplitude) คือระยะทางมากที่สุดที่วัตถุจะสามารถเคลื่อนที่ไปได้ โดยนับจากจุดสมดุลเช่นเดียวกัน อาจจะพิจารณาได้ว่าอัมปลิจูด ก็คือการขจัดมากที่สุดนั่นเอง

คาบ (period) คือเวลาที่วัตถุใช้ในการสั่น 1 รอบ (เช่นจากรูป 1a ถึง 1e

ความถี่ (frequency) คือจำนวนรอบที่วัตถุสั่น หรือเคลื่อนที่ได้ใน 1 วินาที จากนิยามเหล่านี้ ถ้า f เป็นความถี่ และ T เป็นคาบ จะได้ว่า T = 1/f

หมายเหตุ ถ้าพิจารณาเงา (projection) ของ P บนแกน X จะได้สมการของ SHM เป็น

x = A cos2ft

โดย x เป็นการขจัด หรือ x ทำหน้าที่เป็น y ในสมการข้างต้นไม่ว่าจะเป็นสมการของ sine หรือ cosine ก็ใช้ได้ทั้งคู่ เพราะทั้ง sine และ cosine ต่างก็มีค่าระหว่าง 1 ถึง -1 และลักษณะของกราฟของฟังก์ชันทั้งสองก็เหมือนกัน แต่ผู้เขียนต้องการเขียนสมการของ SHM ในรูปของ sine เพื่อความสะดวกในการทำความเข้าใจเรื่องคลื่น 

การเคลื่อนที่แบบฮาร์โมนิกอย่างง่าย

คือการที่วัตถุเคลื่อนที่กลับไปมาซ้ำรอยเดิม มักจะใช้สัญญลักษณ์ว่า SHM. ตัวอย่างของการเคลื่อนที่แบบนี้ได้แก่ การเคลื่อนที่ของวัตถุที่ถูกผูกติดไว้กับสปริงในแนวราบ แล้ววัตถุเคลื่อนที่ไปมาตามแรงที่สปริงกระทำต่อวัตถุ ซึ่งเขาจะศึกษาการเคลื่อนที่นี้จากรูปที่ 1

ในรูปที่ 1a ตำแหน่ง x = 0 เป็นตำแหน่งสมดุลของปริง หรือ เป็นตำแหน่งที่สปริงมีความยาวตามปกติ ณ ตำแหน่งนี้สปริงจะไม่ส่งแรงมากระทำต่อวัตถุ ในรูปที่ 1a นี้มีวัตถุมวล m ผูกติดกับสปริง วางอยู่บนพื้นที่ซึ่งไม่มีแรงเสียดทาน ที่ตำแหน่งซึ่งปริงยืดออกจากความยาวปกติเป็นระยะทาง A สปริงจะออกแรงดึงวัตถุมวล m กลับมาอยู่ในตำแหน่งสมดุล x = 0 เรียกแรงที่สปริงกระทำต่อวัตถุนี้ว่าแรงดึงกลับ (Restoring force) ถ้า F เป็นแรงดึงกลับนี้จะได้ว่า

F = -kx -----(1)

แรงดึงกลับมีเครื่องหมายลบ เพราะทิศทางของเวกเตอร์ของแรงกับเวกเตอร์ของการขจัด x มักจะตรงข้ามกันเสมอ ค่า k คือค่านิจของสปริง (spring constant) ในรูปที่ 1 นี้ได้กำหนดให้ทิศทางขวาเป็นบวก ดังนั้นในรูป 1a ตำแหน่ง x = A จึงเป็นบวก ในขณะที่ทิศทางของแรงดึงกลับเป็นลบ และเนื่องจากวัตถุเริ่มเคลื่อนที่ที่ x = A ความเร็วของวัตถุจึงเป็นศูนย์

เมื่อปล่อยให้วัตถุเคลื่อนที่ตามแรงของสปริง วัตถุจะเคลื่อนที่มาทางซ้าย และในรูปที่ 1b วัตถุผ่านตำแหน่ง x = 0 หรือตำแหน่งสมดุลซึ่งตำแหน่งนี้ แรงที่สปริงกระทำต่อวัตถุจะเป็นศูนย์ แต่อัตราเร็วของวัตถุจะมากที่สุด โดยทิศของความเร็วจะเป็นจากขวาไปซ้าย หรือความเร็วเป็นลบ เนื่องจากพื้นไม่มีแรงเสียดทาน และสปริงก็ไม่ออกแรงมากกระทำต่อวัตถุ ดังนั้นที่ตำแหน่ง x = 0 นี้ วัตถุจึงสามารถรักษาสภาพการเคลื่อนที่ตามกฎข้อที่ 1 ของนิวตันไว้ได้ วัตถุจึงยังคงสามารถเคลื่อนที่ต่อไปทางซ้ายได้

ในขณะที่วัตถุเคลื่อนที่ไปทางซ้ายนั้น วัตถุก็จะผลักให้สปริงหดสั้นไปจากความยาวเดิมด้วย ดังนั้นสปริงจะพยายามออกแรงดึงกลับไปกระทำต่อวัตถุ เพื่อให้ตัวเองกลับไปสู่ความยาวปกติอีก จนในรูปที่ 1 C แสดงถึงขณะที่วัตถุเคลื่อนที่ไปทางซ้ายมากที่สุด ความเร็วของวัตถุจะเป็นศูนย์ทิศของแรงดึงกลับจากซ้ายไปขวา หรือเป็นบวก เวกเตอร์ของการขจัดของวัตถุมีทิศจากขวาไปซ้าย และมีขนาดเป็น A ดังนั้นตำแหน่งของวัตถุขณะนี้จึงเป็น x = -A มีข้อน่าสังเกตว่า ขนาดของการขจัดมากที่สุดของวัตถุไม่ว่าจะเป็นทางซ้ายหรือขวาจะเท่ากัน คือเป็น a เนื่องจากในรูป 1c นี้มีแรงมากระทำต่อวัตถุเพียงแรงเดียว คือแรงจากสปริง ซึ่งมีทิศไปทางขวา วัตถุจึงเคลื่อนที่กลับไปทางขวาด้วยอิทธิพลของแรงนี้ รูปที่ 1

ในรูป 1d วัตถุกลับมาที่ตำแหน่งสมดุลของสปริงอีกครั้งหนึ่ง เช่นเดียวกับในรูป 1b แต่ในขณะนี้วัตถุมีความเร็วเป็นบวก หรือไปทางขวาวัตถุจึงยืดสปริงออกไป โดยยืดได้มากที่สุดถึงตำแหน่ง x = A ดังแสดงในรูป 1 e ซึ่งเป็นสถานเดียวกับรูป 1a ดังนั้นการเคลื่อนที่ของวัตถุจึงกลับมาในลักษณะเดิม คือจาก 1a 1b 1c 1d 1e 1a เป็นอย่างนี้เรื่อยไป ซึ่งจะเห็นว่าวัตถุมีการเคลื่อนที่กลับไปมาซ้ำของเดิม จึงเป็นการเคลื่อนที่แบบ SHM.

มีข้อพึงระลึก จากสมการที่ (1) หรือ F = -kx ว่า วัตถุที่เคลื่อนที่แบบ SHM นั้น นอกจากจะเคลื่อนที่กลับไปมาซ้ำรอยเดิมแล้ว แรงดึงกลับที่กระทำต่อวัตถุยังแปรผันโดยตรงกับการขจัดของวัตถุอีกด้วย

ในการศึกษาการเคลื่อนที่แบบ SHM นี้ จะต้องกำหนดปริมาณต่าง ๆ ดังต่อไปนี้

การขจัด (dis placement) คือระยะทางที่วัตถุเคลื่อนที่ไปได้โดยนับจากจุดสมดุล

อัมปลิจูด (amplitude) คือระยะทางมากที่สุดที่วัตถุจะสามารถเคลื่อนที่ไปได้ โดยนับจากจุดสมดุลเช่นเดียวกัน อาจจะพิจารณาได้ว่าอัมปลิจูด ก็คือการขจัดมากที่สุดนั่นเอง

คาบ (period) คือเวลาที่วัตถุใช้ในการสั่น 1 รอบ (เช่นจากรูป 1a ถึง 1e

ความถี่ (frequency) คือจำนวนรอบที่วัตถุสั่น หรือเคลื่อนที่ได้ใน 1 วินาที จากนิยามเหล่านี้ ถ้า f เป็นความถี่ และ T เป็นคาบ จะได้ว่า

T =

พลังงานของวัตถุที่เคลื่อนที่แบบ SHM.

ในการยืดหรือหดสปริง จะต้องมีแรงภายนอกไปกระทำต่อสปริงทำให้เกิดงานขึ้น ทั้งนี้เพราะในการยืดหรือหดของสปริงนั้น พลังงานศักย์ ของสปริงจะเพิ่มขึ้น จากนิยามของพลังงานศักย์ที่ว่า "พลังงานศักย์ของวัตถุ ณ จุดใด คืองานที่ใช้ในการเคลื่อนที่วัตถุจากจุดอ้างอิงไปยังจุดนั้น" ถ้า F เป็นแรงที่กระทำต่อสปริงแล้วทำให้สปริงยืด (หรือหด) เป็นระยะทาง x จากตำแหน่งสมดุล จะได้ว่า

งานที่ทำต่อสปริง = Fx

ถ้าให้ตำแหน่งสมดุลเป็นตำแหน่งอ้างอิง จะได้ว่า

พลังงานศักย์ของสปริงที่ตำแหน่ง x ใด ๆ = Fx

แต่ในการยืดหรือหดของสปริงนี้ แรงที่กระทำต่อสปริงจะไม่คงที่ โดยจะขึ้นกับระยะทาง ดังนั้นแรง F จึงเป็นแรงเฉลี่ย โดยจะเฉลี่ยระหว่างแรงที่กระทำต่อสปริงที่ตำแหน่ง x = 0 และที่ x ใดๆ

นั่นคือ

ดังนั้น พลังงานศักย์ของสปริงที่ตำแหน่ง x ใด ๆ

เนื่องจาก แรงที่สปริงกระทำต่อวัตถุเป็นแรงอนุรักษ์ ดังนั้นพลังงานทั้งหมด (total energy) ของวัตถุที่เคลื่อนที่ภายใต้อิทธิพลของแรงสปริงจึงคงที่ ถ้า E เป็นค่าพลังงานทั้งหมดนี้ จะได้ว่า ที่ตำแหน่ง x ใด ๆ ซึ่งวัตถุมีความเร็วเป็น v ใด ๆ (ดังแสดงในรูป 2d) จะได้ว่า

รูปที่ 2

ในรูปที่ 2 แสดงการเคลื่อนที่ของวัตถุมวล m ที่ผูกติดกับสปริงเคลื่อนที่บนพื้นราบที่ไม่มีแรงเสียดทาน เช่นเดียวกับในรูปที่ 1 ในรูป a วัตถุอยู่ในตำแหน่ง x = A ซึ่งเป็นค่าอัมปลิจูดของการเคลื่อนที่ ณ ตำแหน่งนี้ วัตถุมีความเร็วเป็นศูนย์ จึงมีแต่พลังงานศักย์ซึ่งมีค่ามากที่สุด

ในรูป b วัตถุอยู่ในตำแหน่งสมดุล การขจัด x เป็นศูนย์ แต่มีอัตราเร็วมากที่สุด ที่ตำแหน่งนี้จึงมีพลังงานศักย์เป็นศูนย์ แต่มีพลังงานจลน์มากที่สุด ถ้า v₀ เป็นอัตราเร็วที่ตำแหน่งนี้จะได้ว่า

ในรูป c วัตถุอยู่ในตำแหน่ง x = - A ซึ่งก็เป็นอัมปลิจูดเช่นเดียวกันและเหมือนกับในรูป a ความเร็วของวัตถุเป็นศูนย์ วัตถุจึงมีพลังงานจลน์เป็นศูนย์ ในขณะที่มีพลังงานศักย์มากที่สุด

รูป d เป็นตำแหน่งของวัตถุที่ x ใด ๆ วัตถุมีความเร็วเป็น v ใด ๆ ดังที่ได้อธิบายไว้แล้ว จึงได้

 

การแกว่งของลูกตุ้มนาฬิกา (simple pendulum)

พิจารณาลูกตุ้มที่ผูกติดกับเชือกเบา แล้วแกว่งไปมาในแนวดิ่งในทำนองเดียวกับการแกว่งของลูกตุ้มนาฬิกา โดยกำหนดให้

m เป็นมวลของลูกตุ้ม

L เป็นความยาวของเส้นเชือก

Q เป็นมุมที่เส้นเชือกทำกับแนวดิ่ง

จากรูปจะเห็นว่าในขณะที่ลูกตุ้มอยู่ในแนว กับแนวดิ่ง การขจัดจะเป็น x ซึ่งถ้า เป็นมุมเล็ก ๆ จะได้ว่า x = L ดังนั้นการขจัดของวัตถุอาจจะเขียนได้ว่าเป็น x หรือเป็น ก็ได้ เมื่อพิจารณาแรงน้ำหนัก mg ของลูกตุ้ม ก็สามารถแตกแรงนี้ออกเป็น 2 ส่วน คือ mgcos อยู่ในแนวเดียวกับเส้นเชือก และ mg sin ซึ่งอยู่ในแนวเส้นสัมผัส แรง mg sin นี่เองที่เป็นแรงดึงกลับที่กระทำต่อลูกตุ้ม

นั่นคือ แรงดึงกลับ = F = mg sin

ในขณะที่ ระยะทางของวัตถุ = x = LQ

ดังนั้น แรงดึงกลับจึงไม่แปรผันโดยตรงกับระยะทาง การแกว่งของลูกตุ้มนาฬิกาไม่น่าเป็น SHM แต่ถ้ามุม มีค่าน้อย ๆ จะได้ว่าในหน่วยเรเดียน

sin =

ดังนั้น แรงดึงกลับ = F = mg

ระยะทาง = x = LQ

จึงได้ว่า แรงดึงกลับเป็นสัดส่วนโดยตรงกับระยะทางแล้ว

นั่นคือ การแกว่งของลูกตุ้มนาฬิกาที่มีมุม น้อย ๆ จึงเป็น SHM

พิจารณาแรงดึงกลับ

F = mg

จากรูป เมื่อ น้อย ๆ จะได้

=

ดังนั้น F = mg

จากกฎข้อ 2 ของนิวตัน

F = ma

ดังนั้น ความเร่งของตุ้มนาฬิกา = a =

เนื่องจากการเคลื่อนที่ของลูกตุ้มเป็น SHM

ดังนั้น a = ²x

นั่นคือ ²x = g

หรือ ² =

=

โดย w เป็นความถี่เชิงมุม (angular frequency) = 2f

ดังนั้น = 2f =

f = = ความถึ่ของการแกว่งของลูกตุ้ม

T = = 2 = คาบของการแกว่งของลูกตุ้ม

ความเร็วและความเร่งของของการเคลื่อนที่แบบฮาร์โมนิกอย่างง่าย

รูปที่ 1

ให้ v_o เป็นอัตราเร็วของ P ที่เคลื่อนที่รอบวงกลม อัตราเร็วของ Q จะเท่ากับองค์ประกอบ (component) ของความเร็วของ P ในแนวดิ่ง นั่นคือ อัตราเร็วของ Q หรืออัตราเร็วของวัตถุที่เคลื่อนที่แบบ SHM เป็น v_ocos หรือ v_ocos2ft นั่นเอง

ถ้า P มีความเร็วเชิงมุมเป็น เรเดียน/วินาที และเพราะว่า A เป็นรัศมีของวงกลม จากการศึกษาการเคลื่อนที่เป็นวงกลมจะได้ว่า

= v_o/R หรือ v_o = R

ดังนั้นอัตราเร็วของ SHM = v_ocos2ft = R cos2ft

สำหรับอัตราเร่งนั้น เนื่องจาก P เคลื่อนที่เป็นวงกลม จึงมีทิศของความเร่งเข้าสู่ศูนย์กลาง และความเร่งของ Q ก็เป็นองค์ประกอบในแนวดิ่งของความเร่งของ P

รูปที่ 2

ถ้า a_o เป็นอัตราเร่งของ P

a_osin ก็เป็นอัตราเร่งของ Q

เพราะว่า P มีความเร็วเชิงมุมเป็น เรเดียน/วินาที และมีรัศมีเป็น A

จึงได้ว่า a_o = w²A

ดังนั้น อัตราเร่งของ SHM = a_osin = a_osin2ft = ²A sin2ft

ค่า ในการเคลื่อนที่แบบ SHM เรียกว่า ความถี่เชิงมุม (angular frequency) โดยมีความสัมพันธ์กับความถี่ (frequency) ดังนี้

= 2f
ข้อสังเกต เมื่อพิจารณาทิศทางของความเร็ว และความเร่งของวัตถุที่เคลื่อนที่แบบ SHM แล้ว จะเห็นว่าปริมาณทั้งสองมีทิศสวนกันเสมอ ทั้งนี้เพราะแรงที่กระทำต่อวัตถุจะมีทิศตรงข้ามกับการเคลื่อนที่ของวัตถุเสมอ