บทความคณิตศาสตร์

ลำดับตอนที่ #62 : อัตราส่วนตรีโกณมิติ

อัตราส่วนตรีโกณมิติ

@@ ความเป็นมา:เมื่อ 640-546 ปี ก่อนครีสต์ศักราช ทาเรส (thales)คำนวณ

    หาความสูง ของพีรามิด ในประเทศอียิปต์โดยอาศัยเงา วิธีหนึ่งที่ทาเรสใช้คือ

    คำนวณความสูงของพีรามิดจากความยาวของเงาของพีรามิด  ในขณะที่เงา

    ของเขามีความยาวเท่ากับความสูงของเขาเอง   อีกวิธีหนึ่งที่ทาเรสใช้คำนวณ

    ความสูงของพีรามิดคือ  การเปรียบเทียบความยาวของเงาของพีรามิดกับความ

    ยาวของเงาของไม้(ไม้ที่ทราบความยาว ถ้าสมัยนี้ก็คือไม้เมตรนั่นเอง)  โดย

    อาศัยรูปสามเหลี่ยมคล้าย   ซึ่งก็คือ  อัตราส่วนตรีโกณมิติที่เรียกว่า แทนเจนต์

  (tangent)  นั่นเอง

 1.  สมบัติของสามเหลี่ยมคล้าย

     -  ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูป  มีมุมซึ่งมีขนาดเท่ากันสามคู่แล้ว รูปสาม

        เหลี่ยมสองรูปนั้นจะคล้ายกัน และถ้าสามเหลี่ยมคู่ใดคล้ายกันแล้ว

        อัตราส่วนของความยาวของด้านคู่ที่อยู่ตรงข้ามกับมุมคู่ที่มีขนาดเท่ากัน

        จะเท่ากันทั้งสามอัตราส่วนดังนี้.-

   รูปที่1    รูปที่ 2

     @@  กำหนดให้รูปสามเหลี่ยม  ABC  และรูปสามเหลี่ยม  DEF ข้างบนมี

        -  B C = E F  ,   A B = D E และ  A C = D F

        - กำหนดให้  a , b , c , x , y และ z แทนความยาวของด้านของรูป

          สามเหลี่ยม        จะได้   ABC ~ DEF

           ->  ดังนั้น  = =

           -> หรือ    =  =

- เรามาเลือกพิจารณาอัตราส่วนของมุมที่มีขนาดเท่ากันคือ

       ->   มุม   A ของ รูปที่1 และมุม D ของ รูปที่2  คือ

       ->   จาก     เราใช้สมบัติอัตราส่วนที่เท่ากันจะได้  az = cx

                                            (โดยการใช้การคูณไขว้)

 จะได้ว่า   ดูรูปข้างบนประกอบ (ถ้ายังไม่เข้าใจกลับไปดูเรื่องอัตราส่วนที่เท่ากันที่นี่ค่ะ)

  -  อัตราส่วนของความยาวของด้านคู่ที่อยู่ตรงข้ามกับมุมคู่ที่มีขนาดเท่ากัน

        จะเท่ากันทั้งสามอัตราส่วนดังนี้ (ดูรูปข้างบนประกอบไปด้วย)

  1  อัตราส่วนมุม A  ในสามเหลี่ยม ABC กับมุม D ในสามเหลี่ยม  DEF จะได้.-

        ->       
 

  2. อัตราส่วนมุม B  ในสามเหลี่ยม ABC กับมุม E ในสามเหลี่ยม  DEF จะได้.-

        ->      

  3. อัตราส่วนมุม E  ในสามเหลี่ยม ABC กับมุม F ในสามเหลี่ยม  DEF จะได้.-

        ->        

@@@ จึงสรุปได้ว่า  อัตราส่วนตรีโกณมิติของมุมที่เท่ากัน  จะมีค่าเท่ากันเสมอ

แบบฝึก ถ้า PQM เป็นสามเหลี่ยมอีกรูปหนึ่ง ซึ่งคล้ายกับสามเหลี่ยม ABC ดังรูป
 

                

   -> กำหนดให้  a , b , c , p , q และ m แทนความยาวของด้านของรูป

      สามเหลี่ยมทั้งสอง  และมุม A  เท่ากับมุม P   มุม  B  เท่ากับมุม Q

      มุม C เท่ากับมุม M      จะได้   ABC ~ PQM
   -> จงหาว่า   ,  ถูกไหมถ้าไม่ย้อนกลับไปเริ่มต้นใหม่ ,   ถูกไหมถ้าไม่ย้อนกลับไปเริ่มต้นใหม่ จะเท่ากับ  อัตราส่วนใดของสามเหลี่ยม  PQM

 1) อัตราส่วนมุม A ในสามเหลี่ยม ABC กับมุม P ในสามเหลี่ยม  PQM จะได้.- 
                      
               ได้ =»    
                      ถูกไหมถ้าไม่ย้อนกลับไปเริ่มต้นใหม่

 2) อัตราส่วนมุม B ในสามเหลี่ยม ABC กับมุม Q ในสามเหลี่ยม  PQM จะได้.- 

             ได้ =»   
                     

  3) อัตราส่วนมุม C  ในสามเหลี่ยม ABC กับมุม M ในสามเหลี่ยม PQM จะได้.- 

             ได้ =»   
                     

---

  @@- สำหรับระดับชั้นมัธยมศึกษาตอนต้นนี้จะได้ศึกษาตรีโกณมิติ  โดยใช้สาม

    เหลี่ยมมุมฉากเท่านั้น

  - ต่อไปจะพิจารณากรณีที่เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากจากรูปข้างล่างนี้(ซึ่งจะเป็น

      กรณีเดียวกับที่กล่าวมาแล้วข้างบนแต่ข้างบนไม่ได้เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก)

     
                      

    - กำหนดให้  a , b , c , 2a , 2b และ 2c แทนความยาวของด้านของรูป

      สามเหลี่ยมทั้งสอง  และมุม A  เท่ากับมุม X   มุม  B  เท่ากับมุม Y

      มุม C เท่ากับมุม Z      จะได้   ABC ~ XYZ

  @@  เราจึงสรุปได้ว่า :-

1.อัตราส่วนมุม A= ใน  ABC แล้ว อัตราส่วนมุม  X =  ใน XYZ
    -> เพราะฉะนั้น อัตราส่วนมุม  X =      ใน XYZ (เอา 2 ไปหารทั้งเศษและส่วน)
  2. อัตราส่วนมุม  A= ใน ABC แล้ว  อัตราส่วนมุม  X =  ใน XYZ
   -> เพราะฉะนั้น อัตราส่วนมุมX  =      ใน  XYZ(เอา 2 ไปหารทั้งเศษและส่วน)

  3. อัตราส่วนมุม A= ใน ABC แล้ว อัตราส่วนมุม X =  ใน XYZ
   ->  เพราะฉะนั้น อัตราส่วนมุม X  =     ใน   XYZ(เอา 2 ไปหารทั้งเศษและส่วน)

 @@@ จึงสรุปได้ว่า  อัตราส่วนตรีโกณมิติของมุมที่เท่ากัน  จะมีค่าเท่ากันเสมอ